{"id":12175,"date":"2012-10-04T23:08:59","date_gmt":"2012-10-04T22:08:59","guid":{"rendered":"http:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/?p=12175"},"modified":"2012-10-04T23:13:13","modified_gmt":"2012-10-04T22:13:13","slug":"theorie-des-catastrophes-une-approche-systemique-pour-une-topologie-de-la-realite-par-rui-da-silveira","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/theorie-des-catastrophes-une-approche-systemique-pour-une-topologie-de-la-realite-par-rui-da-silveira\/","title":{"rendered":"Th\u00e9orie des catastrophes : Une approche syst\u00e9mique pour une topologie de la r\u00e9alit\u00e9 par Rui da Silveira"},"content":{"rendered":"

(Revue 3e<\/sup> Mill\u00e9naire. No<\/sup>8 ancienne s\u00e9rie. Mai-Juin 1983)<\/p>\n

Version PDF<\/em><\/a><\/p>\n

(Directeur de recherches au CNRS)<\/p>\n

\u00a0\u00c9l\u00e9gante, la th\u00e9orie de Ren\u00e9 Thom permet une approche qualitative du r\u00e9el et de l’unit\u00e9 du monde des formes.<\/strong><\/p>\n

La th\u00e9orie des catastrophes, th\u00e9orie des discontinuit\u00e9s, des ruptures et des r\u00e9organisations, th\u00e9orie de la vie, du mouvement. Cette th\u00e9orie \u00e9tudie aussi bien la collision de particules que les cons\u00e9quences d’un mariage-catastrophe pour deux familles. Organisation d’une nouvelle famille. Mais cette th\u00e9orie s’int\u00e9resse au premier chef \u00e0 l’aspect qualitatif des \u00e9v\u00e9nements. C’est pourquoi les Anglo-Saxons y sont plus sensibles que les Fran\u00e7ais trop englu\u00e9s dans le cart\u00e9sianisme. Mais, avant d’aborder une autre fois les applications les plus fines de cette th\u00e9orie, voyons avec Rui da Silveira comment cette th\u00e9orie joue d’abord un r\u00f4le descriptif et topologique du r\u00e9el, topologie qui utilise largement la math\u00e9matique de Ren\u00e9 Thom (Ici, rassurez-vous, point de formules ni d’\u00e9quations). Rappelons enfin que Ren\u00e9 Thom a re\u00e7u la m\u00e9daille Field en 1962 pour ses travaux. Cette m\u00e9daille, Nobel des math\u00e9matiques, est d\u00e9cern\u00e9e par un jury international de math\u00e9maticiens.<\/em><\/p>\n

L\u2019immense diversit\u00e9 du monde, tant inanim\u00e9\u00a0 que vivant, qui s’offre \u00e0 notre regard est, sinon une d\u00e9couverte, du moins une constatation quotidienne. On pourrait presque dire que les progr\u00e8s de la connaissance ne font souvent que d\u00e9voiler des diff\u00e9rences nouvelles l\u00e0 o\u00f9 l’on ne voyait que du semblable. Parall\u00e8lement, pour exprimer cette diversit\u00e9, pour dire les diff\u00e9rences, nos moyens sont eux aussi multiples ; ils vont, par exemple, des simples mots d\u00e9signant les formes et permettant de distinguer dans notre discours un ballon de \u00ab football \u00bb d’un ballon de \u00ab rugby \u00bb, aux techniques sophistiqu\u00e9es permettant de mettre des chiffres diff\u00e9rents sur les masses voisines des deux constituants du noyau atomique, le neutron et le proton. Devant la multiplicit\u00e9 des diff\u00e9rences, l’homme a, de tous temps, essay\u00e9 de d\u00e9gager ce qui pourrait rassembler le dissemblable. Car, si la monotonie peut \u00eatre source d’ennui, la diversit\u00e9, d\u00e9pourvue de toute coh\u00e9rence, peut-\u00eatre, \u00e0 son tour, un facteur de trouble. Rechercher l’unit\u00e9, cela revient, dans un langage imag\u00e9, \u00e0 d\u00e9gager les r\u00e8gles qui permettent, \u00e0 partir de pi\u00e8ces apparemment disparates, de construire un \u00ab puzzle \u00bb dont \u00e9mergera une forme particuli\u00e8re de coh\u00e9rence. C’est encore la recherche d’une coh\u00e9rence particuli\u00e8re, la d\u00e9marche qui consiste \u00e0 trouver les r\u00e8gles permettant d’accorder des sons entre eux, pour faire en sorte que ce qui pourrait n’\u00eatre qu’une succession de bruits devienne de la musique. La recherche d’unit\u00e9 et de coh\u00e9rence peut donc, elle aussi, rev\u00eatir bien des facettes. C’est ainsi qu’un des succ\u00e8s, et pas le moindre, de la loi de la gravitation de Newton, fut de d\u00e9gager l’unit\u00e9 dans la mani\u00e8re dont tous les objets interagissent. L’interaction mutuelle entre une pomme et une noix ob\u00e9it \u00e0 la m\u00eame formule math\u00e9matique que celle qui fait que la lune tourne autour de la terre et que ces deux plan\u00e8tes tournent \u00e0 leur tour, autour du soleil.<\/p>\n

Parmi les multiples diversit\u00e9s, celle qui touche aux formes a, depuis toujours, \u00e9veill\u00e9 en nous l’int\u00e9r\u00eat, l’\u00e9tonnement, voire la passion ; le monde qui s’offre \u00e0 notre vue est un permanent spectacle o\u00f9 se m\u00ealent les formes naturelles et celles que l’homme a agenc\u00e9es pour cr\u00e9er une harmonie particuli\u00e8re que nous appelons l’art. Mais, en regardant de plus pr\u00e8s l’immense vari\u00e9t\u00e9 de ces formes, cr\u00e9ations de la nature ou de l’homme, on sera \u00e9tonn\u00e9 de d\u00e9couvrir qu’elles paraissent r\u00e9sulter d’agencements chaque fois diff\u00e9rents d’un nombre limit\u00e9 de formes. De ces limitations r\u00e9sulte, peut-\u00eatre, cette sensation que nous \u00e9prouvons \u00e0 la contemplation de la nature ou d’une \u0153uvre d’art, et que nous appelons harmonie. Remarquons en passant, que des limitations, on en trouve ailleurs que dans le domaine des formes ; ne sait-on pas en effet, que l’\u00e9tonnante vari\u00e9t\u00e9 des mat\u00e9riaux r\u00e9pandus dans l’univers ne sont en fin de compte que les multiples combinaisons d’une centaine d’\u00e9l\u00e9ments (particules \u00e9l\u00e9mentaires). En fait, on pourrait dire comme P. Stevens [1]<\/a>\u00a0: \u00ab La nature se comporte comme un metteur en sc\u00e8ne qui utilise les m\u00eames acteurs chaque soir dans des costumes diff\u00e9rents pour des r\u00f4les diff\u00e9rents. \u00bb<\/p>\n

La recherche de l’unit\u00e9 dans le monde des formes revient donc \u00e0 identifier ces acteurs et \u00e0 conna\u00eetre leur r\u00e9pertoire.<\/p>\n

L’accomplissement, du moins en partie, d’une telle t\u00e2che, est d\u00e9sormais possible gr\u00e2ce aux travaux de Ren\u00e9 Thom [2]<\/a>. Ces travaux, connus aujourd’hui d’un public d\u00e9j\u00e0 vaste, portent le nom de \u00ab th\u00e9orie des catastrophes \u00bb. La th\u00e9orie des catastrophes est, essentiellement, l’exploitation d’un certain nombre de r\u00e9sultats issus de la branche des math\u00e9matiques, qui constitue, en quelque sorte, le support rigoureux du qualitatif : la topologie.<\/p>\n

La th\u00e9orie de Thom conna\u00eet par ailleurs des applications remarquables dans diff\u00e9rents domaines, dont la physique (thermodynamique, th\u00e9orie de la stabilit\u00e9, optique, par exemple). Je voudrais quant \u00e0 moi essayer de faire partager au lecteur toute l’\u00e9l\u00e9gance et la simplicit\u00e9 qui se d\u00e9gagent des applications de la th\u00e9orie \u00e0 un domaine qui nous est particuli\u00e8rement familier et auquel nous sommes tous sensibles : le monde des formes.<\/p>\n

Commen\u00e7ons par des choses simples. Lorsqu’on observe un objet et que l’on cherche \u00e0 l’identifier ou \u00e0 appr\u00e9cier son \u00e9tendue en le parcourant du regard, on capte sur la r\u00e9tine son contour apparent. Le contour apparent n’est autre que la projection dans notre r\u00e9tine de la surface qui d\u00e9limite l’objet. Ainsi le contour apparent d’une bille est, de toute \u00e9vidence, un cercle, et celui d’un bracelet dont la section serait circulaire ressemble au dessin de la figure 1a. Si ce bracelet \u00e9tait translucide, sa projection apparente s’enrichirait pour ressembler alors au dessin de la figure 1b. On distingue dans ce contour une ligne ext\u00e9rieure ferm\u00e9e et continue et une ligne int\u00e9rieure, ferm\u00e9e elle aussi, mais o\u00f9 l’on d\u00e9c\u00e8le quatre points o\u00f9 le contour apparent rebrousse chemin ; ce sont des points de rebroussement ou, pour utiliser le langage aujourd’hui consacr\u00e9 en th\u00e9orie des catastrophes, des \u00ab points fronce \u00bb. Les portions continues du contour apparent sont appel\u00e9es des \u00ab lignes pli \u00bb.<\/p>\n

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Ainsi la projection apparente du bracelet nous appara\u00eet d\u00e9limit\u00e9e ext\u00e9rieurement par une ligne pli et, int\u00e9rieurement par des lignes pli, auxquelles se greffent quatre points fronce. Ce r\u00e9sultat fort simple, d\u00e9gag\u00e9 d’une situation particuli\u00e8re est, en r\u00e9alit\u00e9, tout \u00e0 fait g\u00e9n\u00e9ral. Le contour apparent per\u00e7u par nos yeux des objets d\u00e9limit\u00e9s par des surfaces lisses (sans ar\u00eates), ne comporte que des lignes pli (c’est le cas de la bille) ou des lignes pli et des points fronce. Un exemple tr\u00e8s commun de surface sur laquelle on peut percevoir une telle propri\u00e9t\u00e9 est celle qui se forme sur un rideau pliss\u00e9, comme l’illustre la figure 2. Si le rideau est transparent, on percevra alors dans le voisinage de l’endroit o\u00f9 les plis prennent naissance, le contour apparent dessin\u00e9 sur le plan de la figure 3a. Cette projection apparente est encore constitu\u00e9e de deux lignes pli, qui se rejoignent en un point fronce. On peut maintenant essayer de construire une surface dont la projection reproduirait le dessin, plus riche, obtenu dans le cas du bracelet. Cette surface est celle de la figure 3b. Le dessin qui constitue la projection apparente de cette surface est appel\u00e9 la \u00ab queue d’aronde \u00bb. La queue d’aronde est ainsi un troisi\u00e8me acteur que la nature met en sc\u00e8ne et dont le r\u00e9pertoire contient ceux du pli et de la fronce. Pour appr\u00e9cier le r\u00e9pertoire de la queue d’aronde, il suffit de tourner lentement le bracelet de la figure 1.<\/p>\n

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On verra alors se succ\u00e9der la s\u00e9quence de dessins de la figure 4 ; les quatre points fronce se rapprochent peu \u00e0 peu pour se fondre deux par deux dans une simple ligne pli. Le pli, la fronce et la queue d’aronde sont les trois formes \u00e9l\u00e9mentaires les plus r\u00e9pandues. Elles constituent, en quelque sorte, les pi\u00e8ces de base dont la nature se sert pour r\u00e9v\u00e9ler \u00e0 notre regard le contour des objets.<\/p>\n

Dans la figure 5 est reproduite l’image radiologique d’un os iliaque [3]<\/a>. Or l’image radiologique d’un corps n’est autre que la projection sur une plaque sensible de la surface d\u00e9limitant ce corps. On ne sera donc pas \u00e9tonn\u00e9 de reconna\u00eetre dans la figure 5 un dessin qui est un agencement particulier de lignes pli, fronces et queues d’aronde. Ainsi donc, les \u00ab puzzles \u00bb changent, mais les pi\u00e8ces restent les m\u00eames.<\/p>\n

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Mais la nature, nous dira-t-on, ne fa\u00e7onne pas que des contours. Elle dessine aussi. Elle dessine, par exemple, avec la lumi\u00e8re. Qui n’a pas observ\u00e9 les images aux formes capricieuses que la lumi\u00e8re, r\u00e9fl\u00e9chie ou r\u00e9fract\u00e9e par les objets les plus divers, dessine sur une table, un mur ou le fond d’une piscine \u00e9clair\u00e9e par le soleil. Ici, plus peut-\u00eatre qu’ailleurs, les formes observ\u00e9es paraissent r\u00e9sister \u00e0 toute tentative d’analyse ou de r\u00e9duction \u00e0 des sch\u00e9mas simples. Pour \u00e9tudier de telles images, on serait tent\u00e9 de penser qu’il faudrait dresser un atlas interminable de formes. Or, il n’en est rien, car l\u00e0 encore ce sont toujours les m\u00eames acteurs qui tiennent la sc\u00e8ne. Il n’est que trop simple de se procurer de quoi obtenir une de ces images que les opticiens appellent caustiques.<\/p>\n

Il suffit pour cela d’exposer au soleil (ou \u00e0 toute source intense de lumi\u00e8re) le couvercle d’une bo\u00eete ronde, m\u00e9tallique. Sur le fond du couvercle, on verra alors se dessiner une courbe lumineuse comme celle de la figure 6. Elle est due aux rayons lumineux que la paroi interne du couvercle focalise sur le fond. Nous sommes \u00e0 m\u00eame d\u00e9j\u00e0 de reconna\u00eetre dans cette courbe la forme d’une fronce. Si l’on dispose d’une surface r\u00e9fl\u00e9chissante aux formes quelque peu tourment\u00e9es, on pourra alors observer des caustiques aux formes dont la complexit\u00e9 para\u00eet sans limites. En r\u00e9alit\u00e9, ces dessins r\u00e9sultent chaque fois du modelage et remodelage des cinq formes \u00e9l\u00e9mentaires que les trois dimensions de notre espace ont fix\u00e9 une fois pour toutes. Ces cinq formes sont, d’une part, les trois formes qui nous sont d\u00e9j\u00e0 famili\u00e8res, auxquelles s’ajoutent, d’autre part, les ombiliques, elliptiques et hyperboliques, figure 7. Pour assister au r\u00e9pertoire de ces diff\u00e9rents acteurs, il suffit de changer l’orientation du plan sur lequel on observe l’image. Le fond d’une piscine (dans sa partie peu profonde) est, \u00e0 ce titre, une sc\u00e8ne naturelle. Le mouvement incessant de la surface de l’eau renouvelle dans un spectacle permanent les dessins que l’on observe sur le fond.<\/p>\n

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\u00a0Un article \u00e9tant un texte naturellement limit\u00e9, j’ai volontairement mis l’accent sur les applications de la th\u00e9orie des catastrophes \u00e0 un domaine restreint. De ce fait, j’ai n\u00e9cessairement pass\u00e9 sous silence des applications non moins passionnantes de la th\u00e9orie \u00e0 d’autres domaines.<\/p>\n

Le lecteur a peut-\u00eatre acquis par ailleurs la conviction (les media s’en sont fait largement l’\u00e9cho) du caract\u00e8re tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ral, voire universel, de la th\u00e9orie de Thom. Cette universalit\u00e9 se mesurerait \u00e0 la diversit\u00e9 des domaines auxquels elle s’appliquerait ; outre la physique, la biologie, l’\u00e9conomie, la linguistique, le comportement animal, etc., etc.<\/p>\n

Or les id\u00e9es d\u00e9velopp\u00e9es tout au long de ces quelques pages ne laissent pas entrevoir en quoi une th\u00e9orie permettant de traiter des questions de morphologie permet d’aborder des sujets qui en sont aussi \u00e9loign\u00e9s que le comportement animal, par exemple. Pour essayer de le comprendre (quoique de mani\u00e8re n\u00e9cessairement superficielle), revenons un instant aux caustiques et aux surfaces d\u00e9limitant les objets. Ces surfaces exhibent ce que l’on appelle des discontinuit\u00e9s. C’est \u00e0 travers ces discontinuit\u00e9s, dont la projection dans notre r\u00e9tine prend la forme de plis et de fronces, que l’on per\u00e7oit le contour des objets.<\/p>\n

De m\u00eame, les caustiques r\u00e9v\u00e8lent, elles aussi, une forme de discontinuit\u00e9 ! C’est en effet la discontinuit\u00e9 dans l’intensit\u00e9 de la lumi\u00e8re (sur le fond de la piscine, par exemple) qui dessine les diff\u00e9rentes courbes de la figure 7.<\/p>\n

Apr\u00e8s tout, des discontinuit\u00e9s, on en trouve un peu partout : un voilier qui s’incline sous la force du vent et reprend sa position d’\u00e9quilibre tant que cette inclinaison n’atteint une valeur qui le fait chavirer. Ou encore, nous savons qu’en provoquant quelqu’un par des mots, ou par des gestes, il se trouve g\u00e9n\u00e9ralement un niveau de provocation \u00e0 partir duquel ce quelqu’un se met soudain en col\u00e8re ; nous disons que son comportement subit un changement brusque, une discontinuit\u00e9. Si des discontinuit\u00e9s peuvent rev\u00eatir un caract\u00e8re paisible, voire harmonieux (caustiques, contours des objets), ces deux exemples montrent qu’elles peuvent aussi prendre l’allure de catastrophes !<\/p>\n

Mais qu’y a-t-il de commun entre les deux exemples cit\u00e9s ? Ou, de fa\u00e7on plus pr\u00e9cise, qu’est-ce qui permet d’aborder, de mani\u00e8re unifi\u00e9e, les diff\u00e9rentes situations o\u00f9 se manifestent de brusques changements ? Il se trouve, et c’est l\u00e0 un r\u00e9sultat essentiel de la th\u00e9orie des catastrophes, que pour une grande partie des syst\u00e8mes exhibant des discontinuit\u00e9s, les facteurs ou param\u00e8tres qui d\u00e9terminent ces discontinuit\u00e9s sont li\u00e9s entre eux, par des relations universelles. Qui plus est, le nombre de ces relations permettant d’aborder quantit\u00e9 de situations d’int\u00e9r\u00eat pratique est tr\u00e8s limit\u00e9 : sept \u2014 les sept catastrophes \u00e9l\u00e9mentaires, pour utiliser le langage consacr\u00e9.<\/p>\n

Enfin, il est bien connu que les relations entre param\u00e8tres peuvent aussi se traduire par des courbes ou des surfaces, si l’on porte les diff\u00e9rentes valeurs de ces param\u00e8tres sur un syst\u00e8me d’axes. De ce fait, les sept relations universelles donnent lieu \u00e0 des courbes ou surfaces qui sont, elles aussi, universelles.<\/p>\n

Des sept catastrophes \u00e9l\u00e9mentaires, celles qui ne font intervenir que trois param\u00e8tres au plus sont au nombre de cinq, et peuvent \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9es par les courbes de la figure 7. Ce sont ces m\u00eames courbes que les trois dimensions de l’espace laissent appara\u00eetre sous forme de caustiques ! Les dessins de la figure 7 constituent les diagrammes de base sur lesquels on peut \u00e9tudier une bonne partie des syst\u00e8mes exhibant des discontinuit\u00e9s. Il faut souligner qu’il n’est pas toujours ais\u00e9 d’identifier les facteurs, ou param\u00e8tres, jouant un r\u00f4le pertinent dans le d\u00e9roulement d’un processus sujet \u00e0 des discontinuit\u00e9s. D’un autre c\u00f4t\u00e9, s’il est facile de chiffrer, par exemple, l’intensit\u00e9 du vent qui d\u00e9termine l’inclinaison d’un voilier, il appara\u00eet difficile de chiffrer la provocation verbale ou gestuelle ! Dans de telles situations, faute de pouvoir manier des param\u00e8tres quantifiables, il faut se contenter d’une approche qualitative. Les diagrammes de la th\u00e9orie des catastrophes fournissent \u00e0 de telles approches qualitatives un support, qui semble tr\u00e8s prometteur.<\/p>\n

Pour le lecteur qui souhaiterait prolonger, par des textes relativement \u00e9l\u00e9mentaires, ce bref aper\u00e7u, voir les r\u00e9f\u00e9rences bibliographiques des titres suivants\u00a0:<\/p>\n

I. Ekeland, La Th\u00e9orie des catastrophes<\/em>, la Recherche, n\u00b0 81, vol. VIII, 1977, p. 745.<\/p>\n

M. V. Berry, Les Jeux de lumi\u00e8re dans l’eau<\/em>, la Recherche, n\u00b0 92, vol. IX, 1978, p. 760.<\/p>\n

P. T. Saunders, An introduction to catastrophe theory<\/em>, Cambridge University Press, 1980.<\/p>\n

Actes du colloque de Cerisy, Logos et Th\u00e9orie des catastrophes<\/em>, organis\u00e9 par J. Petitot, Cerisy-la-Salle, 1982.<\/p>\n

F. Jacob, Le Jeu des possibles<\/em>, Fayard, 1981.<\/p>\n

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[1]<\/a> P. S. Stevens, Les Formes dans la nature<\/em>, Seuil, 1978.<\/p>\n<\/div>\n

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[2]<\/a> R. Thom, Stabilit\u00e9 structurelle et Morphog\u00e9n\u00e8se<\/em>, deuxi\u00e8me \u00e9dition, revue, corrig\u00e9e et augment\u00e9e, Inter \u00e9ditions, 1977.<\/p>\n<\/div>\n

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[3]<\/a> Y. L. Kergosien, Actes du colloque \u00ab Elaboration et justification des mod\u00e8les \u00bb, Maloine \u00e9diteur, tome II, p. 551.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La th\u00e9orie de Thom conna\u00eet par ailleurs des applications remarquables dans diff\u00e9rents domaines, dont la physique (thermodynamique, th\u00e9orie de la stabilit\u00e9, optique, par exemple). Je voudrais quant \u00e0 moi essayer de faire partager au lecteur toute l’\u00e9l\u00e9gance et la simplicit\u00e9 qui se d\u00e9gagent des applications de la th\u00e9orie \u00e0 un domaine qui nous est particuli\u00e8rement familier et auquel nous sommes tous sensibles : le monde des formes.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1014],"tags":[483,1129,1128,54,99],"class_list":["post-12175","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-essais","tag-approche-systemique","tag-catastrophe","tag-mathematiques","tag-realite","tag-science"],"yoast_head":"\nTh\u00e9orie des catastrophes : Une approche syst\u00e9mique pour une topologie de la r\u00e9alit\u00e9 par Rui da Silveira - 3e mill\u00e9naire - Spiritualit\u00e9 - Connaissance de soi - Non-dualit\u00e9 - M\u00e9ditation<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/theorie-des-catastrophes-une-approche-systemique-pour-une-topologie-de-la-realite-par-rui-da-silveira\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Th\u00e9orie des catastrophes : Une approche syst\u00e9mique pour une topologie de la r\u00e9alit\u00e9 par Rui da Silveira - 3e mill\u00e9naire - Spiritualit\u00e9 - Connaissance de soi - Non-dualit\u00e9 - M\u00e9ditation\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"La th\u00e9orie de Thom conna\u00eet par ailleurs des applications remarquables dans diff\u00e9rents domaines, dont la physique (thermodynamique, th\u00e9orie de la stabilit\u00e9, optique, par exemple). 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