{"id":15727,"date":"2014-04-22T00:51:54","date_gmt":"2014-04-21T23:51:54","guid":{"rendered":"http:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/?p=15727"},"modified":"2014-04-22T00:51:54","modified_gmt":"2014-04-21T23:51:54","slug":"le-point-la-materialisation-du-neant-par-leonel-beudin","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/le-point-la-materialisation-du-neant-par-leonel-beudin\/","title":{"rendered":"Le point : la mat\u00e9rialisation du n\u00e9ant ? par L\u00e9onel Beudin"},"content":{"rendered":"

Les travaux de L\u00e9onel Beudin font partie des recherches de quelques individus qui tiennent \u00e0 reb\u00e2tir nos sciences en prenant pour base des \u00e9l\u00e9ments r\u00e9els du monde physique. Selon ces chercheurs de nombreux paradoxes et contradictions dans nos sciences r\u00e9sultent du fait que de nombreux principes de base de ces sciences sont des entit\u00e9s math\u00e9matiques imaginaires inexistantes dans la nature…\u00a0 Il devient alors crucial de reconstruire nos conceptions d’espace, de temps et de mati\u00e8re \u00e0 partir de notions \u00e9l\u00e9mentaires enracin\u00e9es dans les faits r\u00e9els du monde physique et le bon sens. Il est navrant que ce projet de recherche soit tr\u00e8s m\u00e9connu dans les institutions de recherches officielles. Nous publions ici un extrait du livre de Beudin qu’il a \u00e9crit non seulement pour des math\u00e9maticiens mais aussi pour un large public averti des questions math\u00e9matiques. Comme le blogue de 3e Mill\u00e9naire n’a pas la vocation de publier des travaux scientifiques pointus, d’autres chapitres de ce livre seront publi\u00e9s sur le site SCRIBD.
\n<\/a><\/strong><\/p>\n

(Extrait de Espace et mati\u00e8re<\/em>, La v\u00e9ritable nature des donn\u00e9es fondamentales. \u00c9dition La Pens\u00e9e Universelle. 1982)<\/p>\n

Au lieu d’observer les choses que nous voulions conna\u00eetre, nous avons voulu les imaginer. De supposition fausse en supposition fausse, nous nous sommes \u00e9gar\u00e9s parmi une multitude d’erreurs, et ces erreurs \u00e9tant devenues des pr\u00e9jug\u00e9s, nous les avons prises pour cette raison pour des principes. Nous nous sommes donc \u00e9gar\u00e9s de plus en plus. Alors nous n’avons su raisonner que d’apr\u00e8s les mauvaises habitudes que nous avions contract\u00e9es. L’art d’abuser des mots sans bien les entendre a \u00e9t\u00e9 pour nous l’art de raisonner. Il n’y a qu’un moyen de remettre de l’ordre dans la facult\u00e9 de penser, c’est d’oublier tout ce que nous avons appris, de reprendre nos id\u00e9es \u00e0 leur origine, d’en suivre la g\u00e9n\u00e9ration.<\/em><\/p>\n

CONDILLAC<\/p>\n

Introduction<\/strong><\/p>\n

Il est commun d’entendre dire que les math\u00e9matiques sont parmi les sciences les plus rigoureuses qui soient. Est-ce vraiment ce que l’on doit penser actuellement de certaines de ses branches ? La rigueur invoqu\u00e9e se d\u00e9tache-t-elle par exemple des quelques observations suivantes\u00a0:<\/p>\n

Le vieux mythe du point<\/strong><\/p>\n

Pour Pythagore, c’\u00e9tait \u00ab l’unit\u00e9 qui prend en plus une position \u00bb, l’unit\u00e9 elle-m\u00eame, associ\u00e9e \u00e0 la monade, \u00e9tant la composante essentielle de l’Univers. Depuis ce philosophe le mythe du point a continu\u00e9 d’\u00eatre \u00e0 la base des raisonnements g\u00e9om\u00e9triques et c’est sur lui que reposent la th\u00e9orie des ensembles et celle des fonctions. Le caract\u00e8re mythique de cet \u00e9l\u00e9ment s’est m\u00eame renforc\u00e9 puisque c’est maintenant sans l’aide de la monade qu’il assure la structure g\u00e9om\u00e9trique de l’espace.<\/p>\n

\u00c0 l’\u00e9cole, nous avons d’abord appris que le point \u00e9tait repr\u00e9sent\u00e9 par la trace sur le papier de la pointe d’un crayon bien taill\u00e9. C’\u00e9tait l\u00e0 un bon point physique, visible \u00e0 l’\u0153il nu et sans probl\u00e8me. Mais, on nous a dit ensuite que cette repr\u00e9sentation \u00e9tait tout \u00e0 fait grossi\u00e8re, seulement bonne pour des cervelles enfantines et que, en tant que limite du segment de droite, le point \u00e9tait sans dimension, donc sans \u00e9tendue, donc logiquement sans aucune pr\u00e9sence dans l’espace, ce qui ne l’emp\u00eachait toutefois pas de le remplir.<\/p>\n

Est-ce vraiment suivant un principe de rigueur qu’un point sans \u00e9tendue sert de base \u00e0 la science de l’\u00e9tendue ?<\/p>\n

La d\u00e9finition du r\u00e9el par l’imaginaire<\/strong><\/p>\n

Nous avons aussi appris, dans nos premi\u00e8res ann\u00e9es, que le volume \u00e9tait repr\u00e9sent\u00e9 par le cube de bois dont la classe \u00e9tait dot\u00e9, et que ce volume \u00e9tait limit\u00e9 par des surfaces. Un peu plus tard il nous a \u00e9t\u00e9 dit que, pour pouvoir jouer leur r\u00f4le de limite, ces surfaces ne pouvaient avoir d’\u00e9paisseur et qu’en cons\u00e9quence elles ne pouvaient avoir d’existence r\u00e9elle, que c’\u00e9tait des \u00eatres g\u00e9om\u00e9triques.<\/p>\n

Est-il d’une logique rigoureuse de limiter un objet, le volume, consid\u00e9r\u00e9 comme ayant une r\u00e9alit\u00e9 physique, par un \u00e9l\u00e9ment imaginaire, la surface sans \u00e9paisseur, une imagination de l’esprit humain ?<\/p>\n

\u00a0Le Postulat d’Euclide<\/strong><\/p>\n

Nous avons tous appris le postulat d’Euclide sous sa forme actuelle : \u00ab Par un point ext\u00e9rieur \u00e0 une droite, on ne peut mener qu’une seule parall\u00e8le \u00e0 cette droite. \u00bb<\/p>\n

La droite, par d\u00e9finition, n’ayant ni largeur ni \u00e9paisseur, quelques-uns de nos lecteurs ont-ils pens\u00e9 demander \u00e0 leur professeur \u00e0 partir de quelle distance il consid\u00e9rait qu’un point sans dimension devenait ext\u00e9rieur \u00e0 une droite sans largeur ?<\/p>\n

\u00a0La G\u00e9om\u00e9trie de l’infini<\/strong><\/p>\n

Consid\u00e9rons l’\u00e9quation Y = A, qui repr\u00e9sente une droite D parall\u00e8le \u00e0 l’axe Ox et constamment \u00e9cart\u00e9e de cet axe de la distance A. Est-il rigoureux de dire que les deux droites parall\u00e8les Ox et D se rencontrent en un m\u00eame point \u00e0 l’infini ?<\/p>\n

O\u00f9 trouve-t-on la d\u00e9monstration de cette affirmation qui entra\u00eene la myst\u00e9rieuse disparition de l’\u00e9cartement A des deux droites, \u00e9cartement qui, dans l’\u00e9quation, est totalement ind\u00e9pendant de l’abscisse x ?<\/p>\n

Si cette convention est utile pour certains probl\u00e8mes, ne serait-il pas plus exact de dire qu’\u00e0 l’infini on consid\u00e8re cet \u00e9cartement comme n\u00e9gligeable ?<\/p>\n

L’arithm\u00e9tique de l’infini<\/strong><\/p>\n

Lorsque l’on conna\u00eet, ou lorsqu’on peut conna\u00eetre le nombre d’objets formant un ensemble, l’ensemble est limit\u00e9 \u00e0 ce nombre d’objets. Tr\u00e8s rigoureusement, une quantit\u00e9 que l’on peut exprimer par un nombre entier est limit\u00e9e \u00e0 ce nombre. C’est donc une quantit\u00e9 finie, quelle que soit la valeur du nombre entier. 764259185362798543126473846192437274693182 objets forment une quantit\u00e9 finie, tout aussi bien que trois objets.<\/p>\n

D’autre part, si l’on est en pr\u00e9sence d’une certaine quantit\u00e9 d’objets, on peut toujours, r\u00e9ellement ou th\u00e9oriquement, les d\u00e9nombrer et affecter \u00e0 leur totalit\u00e9 un nombre entier puisque la suite des nombres est illimit\u00e9e. Comment peut-on alors, en invoquant la logique, b\u00e2tir des th\u00e9ories, il est vrai fort subtiles, en postulant au d\u00e9part l’existence d’ensembles infinis d’objets, donc normalement non d\u00e9nombrables\u00a0?<\/p>\n

Les d\u00e9finitions assez rares que l’on peut trouver de l’infini, en math\u00e9matiques, parlent de \u00ab grandeurs variables pouvant augmenter d’une fa\u00e7on illimit\u00e9e \u00bb.<\/p>\n

Ce qui est rigoureusement certain, lorsqu’il s’agit d’objets distincts, c’est que chaque \u00e9tape de cette variation est marqu\u00e9e par un nombre entier, et qu’\u00e0 chaque \u00e9tape nous avons une valeur finie pour l’ensemble. Peut-on \u00e9chapper \u00e0 cette certitude autrement que par une pirouette ?<\/p>\n

\u00a0Les g\u00e9om\u00e9tries dites axiomatiques<\/strong><\/p>\n

Il a \u00e9t\u00e9 affirm\u00e9, en math\u00e9matiques actuelles, qu’une th\u00e9orie \u00e0 base d’axiomes arbitrairement choisis est bonne \u00e0 partir du moment o\u00f9 elle n’entra\u00eene pas de contradictions dans le d\u00e9roulement des raisonnements qu’elle autorise. Mais o\u00f9 se place, dans ce cas, le contact avec les faits r\u00e9els qui caract\u00e9rise une v\u00e9ritable science ? Si une science ne se soumet pas au r\u00e9el, quelle peut \u00eatre son utilit\u00e9 pour la compr\u00e9hension de ce r\u00e9el ?<\/p>\n

Imaginer des cha\u00eenes de d\u00e9ductions \u00e0 partir de bases arbitrairement choisies, cela rel\u00e8ve-t-il d’une science ou d’un jeu ?<\/p>\n

La G\u00e9om\u00e9trie et la th\u00e9orie des Ensembles<\/strong><\/p>\n

Dans la th\u00e9orie des ensembles on d\u00e9finit un \u00e9l\u00e9ment que l’on appelle \u00ab neutre \u00bb et qui est caract\u00e9ris\u00e9 par le fait qu’il peut \u00eatre ajout\u00e9 \u00e0 l’un quelconque des \u00e9l\u00e9ments d’un ensemble d\u00e9termin\u00e9 sans en changer la valeur.<\/p>\n

On en donne souvent comme exemple l’ensemble assujetti \u00e0 la loi d’addition des longueurs pour lequel l’\u00e9l\u00e9ment neutre est la longueur \u00ab z\u00e9ro \u00bb\u00a0: L + O = O + L = L<\/p>\n

Tout au d\u00e9but de la g\u00e9om\u00e9trie moderne, on d\u00e9finit aussi le segment de droite par un couple (AB) de deux points (les points A et B limites), et l’on poursuit en pr\u00e9cisant que l’addition des longueurs g\u00e9om\u00e9triques admet un \u00ab \u00e9l\u00e9ment neutre \u00bb, la longueur z\u00e9ro, repr\u00e9sent\u00e9e par un couple de deux points confondus.<\/p>\n

Si, du propre aveu des g\u00e9om\u00e8tres modernes, deux points confondus sont identiques \u00e0 \u00ab z\u00e9ro \u00bb, on peut penser qu’un seul point, pour eux, cela devrait \u00e9galement \u00eatre \u00ab z\u00e9ro \u00bb, c’est-\u00e0-dire \u00ab\u00a0Rien \u00bb.<\/p>\n

Comment peut-on alors d\u00e9finir un \u00eatre g\u00e9om\u00e9trique par ce \u00ab Rien \u00bb ? Comment peut-on pr\u00e9ciser une longueur par un \u00e9l\u00e9ment que l’on d\u00e9clare inexistant dans la phrase suivante ?<\/p>\n

\u00a0La bataille des Th\u00e9ories<\/strong><\/p>\n

Si les math\u00e9matiques actuelles \u00e9taient une science rigoureuse, si tout ce qu’on y avan\u00e7ait \u00e9tait nettement d\u00e9montr\u00e9, et v\u00e9rifi\u00e9 par l’exp\u00e9rience, il devrait y avoir un accord g\u00e9n\u00e9ral sur leur contenu. C’\u00e9tait d’ailleurs ce qui se passait du temps d’Eudoxe et d’Euclide.<\/p>\n

Les math\u00e9matiques modernes sont cependant pr\u00e9sent\u00e9es d’une fa\u00e7on fort diff\u00e9rente par de multiples \u00c9coles. Il y a le classique, il y a le logicisme de Russel, l’intuitionnisme de Brouwer, le formalisme de Hilbert, les r\u00e9alistes, les conceptualistes, les nominalistes, etc.<\/p>\n

Chaque \u00c9cole a sa logique et sa rigueur. Aucune n’est cependant arriv\u00e9e \u00e0 prouver que c’\u00e9tait chez elle que l’on trouvait la v\u00e9ritable rigueur et la vraie logique. Alors, o\u00f9 la chercher ?<\/p>\n

Dans cette \u00e9tude nous avons essay\u00e9, au contraire, de ne faire appel qu’aux faits r\u00e9els et de ne suivre que ce qu’indique le bon sens, ce vieux bon sens, si d\u00e9cri\u00e9 actuellement. La logique permet beaucoup de choses. Elle ne porte pas de jugement sur les pr\u00e9misses qui lui sont fournies. Quelle que soit leur nature, elle en tire des conclusions, paradoxales ou non, avec la plus grande s\u00e9r\u00e9nit\u00e9. Le bon sens est plus pointilleux. Il permet beaucoup moins d’envol\u00e9es et se fait souvent juge, ce qui le fait consid\u00e9rer comme un frein.<\/p>\n

Il nous a cependant conduit, dans les pages suivantes, \u00e0 certaines id\u00e9es que nous pensons plus saines et qui apportent des r\u00e9ponses plus naturelles aux questions pr\u00e9c\u00e9dentes. Il nous a permis aussi de mieux comprendre les liaisons existant entre l’\u00e9tendue et les objets qu’elle contient.<\/p>\n

De plus, partant uniquement de consid\u00e9rations th\u00e9oriques portant sur la nature des \u00e9l\u00e9ments de base de la g\u00e9om\u00e9trie, nous avons pu b\u00e2tir, gr\u00e2ce \u00e0 lui, une conception originale de l’espace physique qui jette un jour nouveau sur les conditions qui autorisent l’existence des volumes r\u00e9els.<\/p>\n

Ceci nous a conduit ensuite \u00e0 revoir les probl\u00e8mes portant sur les structures de l’Espace et du Temps qu’a pos\u00e9s l’\u00e9tude des conditions de propagation de la lumi\u00e8re. Nous avons rappel\u00e9 les diff\u00e9rentes th\u00e9ories qui ont \u00e9t\u00e9 imagin\u00e9es pour les r\u00e9soudre, en particulier celle de la relativit\u00e9 restreinte qui a obtenu un succ\u00e8s tout particulier.<\/p>\n

Pour cette derni\u00e8re nous avons \u00e9t\u00e9 amen\u00e9s \u00e0 nous interroger sur un certain nombre de choses \u00e9tonnantes dont nous donnons ci-dessous un exemple :<\/p>\n

En postulant l’espace vide, la constance des mesures de la vitesse de la lumi\u00e8re quelles que soient les vitesses relatives des laboratoires de mesure, ainsi qu’un principe g\u00e9n\u00e9ral d\u00e9nomm\u00e9 par lui \u00ab Principe de la Relativit\u00e9 Restreinte \u00bb, Einstein, par un raisonnement alg\u00e9brique s’appuyant sur ces postulats, a obtenu deux \u00e9quations fondamentales dont l’utilisation permet \u00e0 un observateur d’un syst\u00e8me S de calculer pour un ph\u00e9nom\u00e8ne A, \u00e0 partir des donn\u00e9es d’espace (x) et de temps (t) mesur\u00e9es dans S, des donn\u00e9es (x’) et (t’) applicables au m\u00eame ph\u00e9nom\u00e8ne consid\u00e9r\u00e9 cette fois comme appartenant \u00e0 un syst\u00e8me S’ ayant une vitesse uniforme de translation (y) par rapport \u00e0 S.<\/p>\n

L’une de ces deux \u00e9quations fondamentales est la suivante : 1) t’ = a (t \u2013 vx\/c2<\/sup>)<\/p>\n

(a) \u00e9tant un facteur ne d\u00e9pendant que de (v), (c) \u00e9tant la vitesse constante de la lumi\u00e8re.<\/p>\n

Dans le syst\u00e8me S, consid\u00e9r\u00e9 comme immobile, toutes les horloges doivent \u00e9videmment marquer le m\u00eame temps t pour donner un sens aux mesures. Prenons donc, le long de l’axe Ox du syst\u00e8me S auquel correspond un axe O’x’ du syst\u00e8me S’, un \u00ab instantan\u00e9 \u00bb marqu\u00e9 par une certaine valeur du temps : t = T.<\/p>\n

Nous voyons que, pour cet instantan\u00e9, t’ s’annule pour x = c2<\/sup> * T\/v. Par suite, lorsque nous consid\u00e9rons les horloges le long de O’x’, une certaine horloge d’abscisse x’ correspondant \u00e0 cette valeur de x (la premi\u00e8re \u00e9quation fondamentale donnant x’ en fonction de x) va indiquer un temps nul et les horloges suivantes vont indiquer un temps de plus en plus n\u00e9gatif pour arriver \u00e0 un temps infiniment n\u00e9gatif lorsque x et x’ sont infinis.<\/p>\n

Lorsque S et S’ sont immobiles l’un en face de l’autre, v est nul, a est \u00e9gal \u00e0 1 et l’\u00e9quation 1) nous donne t = t’ = T. Toutes les horloges de S’ marquent donc le m\u00eame temps t que toutes les horloges de S, en particulier les horloges plac\u00e9es \u00e0 l’infini sur O’x’ et sur Ox.<\/p>\n

Mais au moindre mouvement de translation donnant v diff\u00e9rent de 0 les horloges \u00e0 l’infini de S’ vont instantan\u00e9ment retarder pour marquer un temps dans un pass\u00e9 infiniment \u00e9loign\u00e9.<\/p>\n

Une telle situation, qui de plus doit \u00eatre r\u00e9ciproque, est-elle conforme au bon sens ?<\/p>\n

Ceci \u00e9tant vu, nous avons pris appui sur notre conception des liens unissant la mati\u00e8re \u00e0 l’espace pour construire, \u00e0 titre d’exemple, un mod\u00e8le de particule \u00e9l\u00e9mentaire capable de se maintenir en \u00e9quilibre stable au sein du milieu spatial, quelle que soit sa vitesse par rapport \u00e0 ce milieu, \u00e9quilibre entra\u00eenant spontan\u00e9ment des modifications de structure conform\u00e9ment aux formules (et non aux \u00e9quations) de Lorentz-Einstein.<\/p>\n

Dans une autre direction, toutefois li\u00e9e \u00e0 la premi\u00e8re, nous avons \u00e9galement fait voir comment, par l’utilisation de symboles imagin\u00e9s au fur et \u00e0 mesure des besoins, une certaine branche de la science n’est plus devenue qu’un jeu subtil et \u00e9sot\u00e9rique o\u00f9 l’esprit humain s’est donn\u00e9 l’extraordinaire pouvoir de cr\u00e9er l’infini, et m\u00eame des infinis d’infinis, qu’il n’h\u00e9site pas \u00e0 consid\u00e9rer comme r\u00e9els, et nous avons attir\u00e9 l’attention sur l’invraisemblable d\u00e9monstration, consid\u00e9r\u00e9e comme fondamentale, que citent les meilleurs auteurs dans leurs ouvrages sur les math\u00e9matiques modernes sous le nom de \u00ab d\u00e9monstration de la diagonale \u00bb, et ce qu’il convient d’en penser.<\/p>\n

I<\/strong><\/p>\n

LE POINT :<\/strong><\/p>\n

LA MAT\u00c9RIALISATION DU N\u00c9ANT ?<\/strong><\/p>\n

G. IBARUBKO : Point, tu n’es \u00ab\u00a0Rien\u00a0\u00bb, mais sur ce \u00ab Rien \u00bb je construirai toute une science.<\/p>\n

PARM\u00c9NIDE D’\u00c9L\u00c9E : Il n’est pas \u00e0 redouter que jamais on te prouve que ce qui n’est pas est.<\/p>\n

Cependant les math\u00e9maticiens y sont parvenus.<\/p>\n

Une d\u00e9duction logique<\/strong><\/p>\n

Consid\u00e9rons un segment de droite (AB) de longueur (d), ainsi qu’un \u00e9l\u00e9ment quelconque de ce segment, (ab) de longueur (l).<\/p>\n

Les lois du calcul des probabilit\u00e9s nous disent que, si nous choisissons un point au hasard sur le segment (AB), nous avons 100 x l\/d\u00a0\u00a0\u00a0 chances sur cent de voir ce point situ\u00e9 \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’\u00e9l\u00e9ment (ab).<\/p>\n

R\u00e9duisons l’\u00e9l\u00e9ment \u00e0 son point limite (a). En appliquant la r\u00e8gle pr\u00e9c\u00e9dente, nous avons un pourcentage de chances que le point que nous choisissons au hasard co\u00efncide avec le point (a) proportionnel au rapport de la longueur du point (a) \u00e0 la longueur (d).<\/p>\n

Mais le point (a) \u00e9tant sans dimension, sa longueur est nulle, et le rapport s’\u00e9crit : 100 x 0 \/ d = 0<\/p>\n

Nous n’avons donc aucune chance de voir notre choix tomber sur (a). De plus, (a) \u00e9tant un point quelconque de (AB), ceci est vrai pour tous les points de ce segment.<\/p>\n

Il en r\u00e9sulte qu’il n’y a aucune chance pour que les points que nous pouvons choisir au hasard sur le segment (AB) soient des points de ce segment.<\/p>\n

Qu’est-ce que le Point ?<\/p>\n

Nous avons appris que c’\u00e9tait le premier \u00e9l\u00e9ment de la g\u00e9om\u00e9trie, science de l’\u00e9tendue. Il forme la ligne et, en m\u00eame temps la limite. Il constitue les surfaces et les volumes, il emplit l’espace.<\/p>\n

Et pourtant, sans dimension, il n’est rien dans l’espace. N’est-ce pas l\u00e0 un premier paradoxe ?<\/p>\n

On lit, dans les ouvrages o\u00f9 l’auteur s’interroge sur la g\u00e9om\u00e9trie actuelle, que toute g\u00e9om\u00e9trie est bonne du moment o\u00f9 elle se d\u00e9veloppe \u00e0 l’aide d’axiomes qui n’entra\u00eenent aucune contradiction. Or, toutes n’offrent-elles pas au d\u00e9part la plus belle des contradictions : un \u00e9l\u00e9ment sans \u00e9tendue consid\u00e9r\u00e9 comme composant et limitant l’\u00e9tendue ?<\/p>\n

Henri Poincar\u00e9 a \u00e9crit qu’en abordant la notion de point il touchait \u00e0 l’endroit le plus difficile de sa discussion\u00a0: \u00ab Beaucoup de personnes, indique-t-il, consid\u00e8rent la notion de point de l’espace comme intuitive et si claire que toute d\u00e9finition en est superflue. Mais je pense que l’on m’accordera qu’une notion aussi subtile que celle du point math\u00e9matique, sans longueur, largeur ni \u00e9paisseur, n’est pas imm\u00e9diate et qu’elle a besoin d’\u00eatre expliqu\u00e9e. \u00bb<\/p>\n

Nous sommes bien d’accord avec lui. Malheureusement, en continuant \u00e0 le lire, nous n’avons pas trouv\u00e9 cette explication.<\/p>\n

Peut-\u00eatre pourrions-nous nous contenter des d\u00e9finitions usuelles, c’est-\u00e0-dire : \u00ab\u00a0Quand la ligne est limit\u00e9e, sa limite est un point \u00bb<\/p>\n

ou : \u00ab\u00a0Le point math\u00e9matique est la rencontre de deux lignes \u00bb<\/p>\n

ou encore : \u00ab Le point est la section transversale de la ligne \u00bb.<\/p>\n

Toutes ces d\u00e9finitions ne lui donnent pas une \u00e9tendue, une existence spatiale. La ligne n’ayant qu’une dimension, sa limite n’en a aucune ; quand deux lignes \u00e0 une dimension se rencontrent, aucune d’elles n’existe dans la direction de l’autre et, par cons\u00e9quent, leur point de rencontre est inexistant ; sans \u00e9tendue \u00e9galement est la section transversale d’une ligne sans largeur ni \u00e9paisseur.<\/p>\n

Un peu d’histoire<\/strong><\/p>\n

La notion de point nous a \u00e9t\u00e9 transmise par de tr\u00e8s anciennes civilisations. Comment celles-ci sont-elles arriv\u00e9es \u00e0 la concevoir ?<\/p>\n

Les rares documents retrouv\u00e9s, tablettes chald\u00e9ennes, papyrus \u00e9gyptiens, t\u00e9moignent d\u00e9j\u00e0 de connaissances notables en g\u00e9om\u00e9trie. Nous pouvons raisonnablement supposer qu’elles ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9es au d\u00e9part pour des besoins pratiques, am\u00e9lioration de l’art de construire, d\u00e9limitation des terrains apr\u00e8s les inondations p\u00e9riodiques, \u00e9tude du mouvement des astres, etc.<\/p>\n

Avec des instruments analogues \u00e0 la r\u00e8gle et au compas quelqu’un eut l’id\u00e9e de garder en m\u00e9moire les faits observ\u00e9s, ou de pr\u00e9voir les r\u00e9alisations futures, en \u00e9tablissant des reproductions \u00e0 \u00e9chelle r\u00e9duite de la r\u00e9alit\u00e9.<\/p>\n

Sur ces reproductions, les \u00e9l\u00e9ments devaient garder initialement les noms qu’ils avaient dans la r\u00e9alit\u00e9. Les points s’appelaient arbres, piquets, bornes…, les lignes s’appelaient murs, cl\u00f4tures, chemins, rivi\u00e8res…, les surfaces portaient le nom des lieux ou des propri\u00e9taires… Chaque \u00e9l\u00e9ment \u00e9tait concr\u00e9tis\u00e9 par un objet physique pr\u00e9cis, et, \u00e0 son \u00e9chelle, la reproduction en respectait les dimensions.<\/p>\n

C’\u00e9tait une \u00e9poque o\u00f9 les g\u00e9om\u00e8tres n’avaient pas encore song\u00e9 \u00e0 isoler la notion de point g\u00e9om\u00e9trique du petit dessin qu’ils tra\u00e7aient pour repr\u00e9senter un piquet ou un autre rep\u00e8re. Ils n’en avaient nul besoin.<\/p>\n

Mais, avec le temps, ils s’aper\u00e7urent que, reportant les longueurs \u00e0 partir du centre du piquet (ou de tout autre rep\u00e8re) il n’\u00e9tait pas n\u00e9cessaire de noter sur leurs dessins les dimensions de ce piquet, qu’ils pouvaient les n\u00e9gliger et simplement placer le centre utilis\u00e9.<\/p>\n

Cela ne voulait pas dire qu’ils consid\u00e9raient le signe rep\u00e8re comme sans dimension, mais seulement qu’ils consid\u00e9raient que ses dimensions n’avaient pas \u00e0 intervenir, compte tenu de la fa\u00e7on de reporter les mesures.<\/p>\n

Ceci fut \u00e9galement vrai pour les lignes repr\u00e9sent\u00e9es par un double trait figurant une route, une rivi\u00e8re, un mur, une cl\u00f4ture. Du double trait ils pass\u00e8rent au simple trait lorsque la largeur de la ligne n’avait pas \u00e0 intervenir, sans penser pour cela que le trait \u00e9tait, par nature, sans largeur.<\/p>\n

Cette fa\u00e7on de voir des praticiens changea avec l’apparition des premiers philosophes grecs. Pour ces derniers, il ne fut plus question d’utiliser et de perfectionner un outil de travail. Membres d’une Soci\u00e9t\u00e9 o\u00f9 l’on utilisait les esclaves pour tous les travaux manuels, o\u00f9 l’on pouvait tr\u00e8s bien se consacrer aux activit\u00e9s intellectuelles ou politiques, la conception des \u00e9l\u00e9ments de l’\u00e9tendue ne r\u00e9sulta plus de leurs applications pratiques mais fut une r\u00e9ponse aux questions philosophiques que l’on se posait \u00e0 cette \u00e9poque sur le Monde et sur ses constituants.<\/p>\n

On a dit que les notions de point, de droite, … id\u00e9alis\u00e9es par Pythagore avaient pour origine les voyages que ce philosophe avait faits dans les autres pays du pourtour m\u00e9diterran\u00e9en, et tout particuli\u00e8rement en \u00c9gypte. Nous ne voyons pas trace de l’aspect pratique que cette origine aurait d\u00fb leur attacher. Nous pensons plut\u00f4t que Pythagore, pr\u00e9d\u00e9cesseur latent de D\u00e9mocrite, avait fait un raisonnement du m\u00eame genre que ce dernier philosophe.<\/p>\n

Le raisonnement de D\u00e9mocrite qui nous est parvenu \u00e9tait le suivant : \u00ab Il n’est pas concevable que l’on puisse diviser toutes les choses \u00e0 l’infini car on aboutirait alors au n\u00e9ant. Il faut donc qu’il y ait un seuil, un dernier \u00e9l\u00e9ment, indivisible, qui serait alors, de par son caract\u00e8re d\u00e9finitif, le composant de toutes les choses. \u00bb<\/p>\n

Le point de Pythagore est, lui aussi, un composant universel.<\/p>\n

Consid\u00e9rant le nombre \u2014 engendr\u00e9 par l’unit\u00e9 \u2014 comme \u00e9tant \u00e0 la base de la structure du Monde, et le Point comme \u00ab l’unit\u00e9 qui a pris une position \u00bb, il \u00e9tait naturel que ce philosophe vit dans le point, \u00e9l\u00e9ment engendrant les autres \u00e9l\u00e9ments par sa r\u00e9p\u00e9tition, une forme de cette intervention du nombre.<\/p>\n

Le Point \u00e9tait alors pour lui le composant spatial indivisible, comme le fut l’atome pour D\u00e9mocrite. En tant que premier \u00e9l\u00e9ment ce ne pouvait \u00eatre le N\u00e9ant. Il \u00e9tait simplement trop petit pour \u00eatre visible.<\/p>\n

Mais c’est ensuite que s’instaura une confusion qui r\u00e8gne encore de nos jours. Au-del\u00e0 du point, Pythagore et ses disciples se heurt\u00e8rent \u00e0 un probl\u00e8me essentiel, celui des limites.<\/p>\n

Il est indiscutable que, dans l’espace g\u00e9om\u00e9trique, le volume \u00e0 trois dimensions ne peut \u00eatre limit\u00e9 que par un \u00e9l\u00e9ment \u00e0 deux dimensions. Cet \u00e9l\u00e9ment lui-m\u00eame, que l’on a d\u00e9nomm\u00e9 surface, doit aussi pouvoir \u00eatre g\u00e9om\u00e9triquement limit\u00e9, et sa limite, cette fois, ne peut avoir qu’une dimension. D’o\u00f9 un nouvel \u00e9l\u00e9ment que l’on a appel\u00e9 ligne, du m\u00eame nom que les traits tr\u00e8s \u00e9tir\u00e9s que l’on pouvait tracer mais qui avaient quand m\u00eame une largeur et une \u00e9paisseur. Finalement, avant-dernier terme de la s\u00e9rie, la ligne, qui n’a qu’une dimension, ne peut logiquement \u00eatre limit\u00e9e que par un \u00e9l\u00e9ment sans dimension qui fut appel\u00e9 \u00ab Point \u00bb.<\/p>\n

Il n’y a cependant rien de commun entre l’\u00e9l\u00e9ment indivisible formant barri\u00e8re devant le N\u00e9ant, \u00e9l\u00e9ment qui doit avoir une \u00e9tendue, car, dans le cas contraire, la qualit\u00e9 d’\u00eatre indivisible qu’on lui attribue n’aurait aucun sens, et l’\u00e9l\u00e9ment issu d’un raisonnement concluant \u00e0 la n\u00e9cessit\u00e9 d’imaginer une limite sans dimension.<\/p>\n

Le premier est un point physique ayant une existence r\u00e9elle comme ultime rempart de la mati\u00e8re\u00a0; le second est un \u00eatre math\u00e9matique cr\u00e9\u00e9 par l’esprit pour limiter un autre \u00eatre math\u00e9matique sans existence r\u00e9elle. Mais, fait curieux, cette diff\u00e9rence n’a jamais \u00e9t\u00e9 retenue, et nous allons voir jusqu’o\u00f9, dans les premiers temps de la science, elle a conduit.<\/p>\n

Nous citerons d’abord Z\u00e9non d’\u00c9l\u00e9e, un disciple de Parm\u00e9nide, qui professait au d\u00e9but du quatri\u00e8me si\u00e8cle avant notre \u00e8re, et qui raisonnait avec un bon sens qu’il serait utile d’avoir encore aujourd’hui. Pour ce philosophe, l’\u00catre devait \u00eatre justifi\u00e9 par l’\u00e9tendue qui, seule, est divisible et qui, seule, ajout\u00e9e ou retranch\u00e9e, entra\u00eene un accroissement ou une diminution. Le point, devant \u00eatre sans dimension, ne pouvait avoir un effet de ce genre. Ceci faisait que le point, en soi, n’\u00e9tait rien.<\/p>\n

Nous n’avons pas besoin de rappeler ce qu’\u00e9tait Platon. Dans ses r\u00e9flexions sur la nature du point, il est oppos\u00e9 \u00e0 la th\u00e8se pythagoricienne et, en particulier, \u00e0 l’hypoth\u00e8se que ce sont les points qui forment la ligne. D’apr\u00e8s lui, si le point existait, il serait d’une nature diff\u00e9rente. Or, comment envisager cette diff\u00e9rence si l’on admet que le point entre dans la composition de la ligne et qu’il en est m\u00eame le seul composant ? Pour r\u00e9soudre ce probl\u00e8me, Platon refusait de reconna\u00eetre la validit\u00e9 de la notion de point et concluait que ce dernier n’\u00e9tait pas un \u00eatre r\u00e9el mais une fiction g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

Ce qui est assez \u00e9tonnant, c’est qu’Aristote, malgr\u00e9 son esprit positif, ait manifest\u00e9 l’opinion contraire. Pour lui, un \u00eatre indivisible, tel que le point, pouvait tr\u00e8s bien exister. Il n’augmentait pas, comme l’avait indiqu\u00e9 Z\u00e9non, la grandeur \u00e0 laquelle il \u00e9tait ajout\u00e9, mais il en augmentait le nombre. Il \u00e9tait aussi d’accord avec Pythagore pour d\u00e9finir le point en tant que \u00ab unit\u00e9 ayant une position \u00bb mais il ajoutait que, toutefois, le point ne pouvait avoir de lieu.<\/p>\n

Ce \u00ab lieu \u00bb \u00e9tait, pour lui, la partie r\u00e9elle de l’\u00e9tendue qui pouvait \u00eatre effectivement occup\u00e9e par les objets sensibles, en opposition avec l’espace g\u00e9om\u00e9trique, uniquement domaine des figures. Le point, \u00eatre math\u00e9matique, pouvait occuper une position dans ce dernier espace, mais il ne pouvait occuper une \u00e9tendue r\u00e9elle.<\/p>\n

Qu’en pensait Euclide, le p\u00e8re du postulat ? Pour lui, le point \u00e9tait \u00ab ce qui n’a pas de parties \u00bb. Il consid\u00e9rait comme essentiel son caract\u00e8re d’indivisibilit\u00e9 (et nous retrouvons l\u00e0 la confusion que nous avons signal\u00e9e). Mais il est aussi l’auteur de cette d\u00e9finition imag\u00e9e : \u00ab Le point est ce qui est pur de toute \u00e9tendue. \u00bb<\/p>\n

En conclusion, ce fut le point sans dimension, c’est-\u00e0-dire le point limite, qui, dans l’esprit des philosophes, effa\u00e7a le \u00ab point physique \u00bb, tout en continuant d’une fa\u00e7on aberrante \u00e0 conserver son caract\u00e8re d’indivisibilit\u00e9. Il en r\u00e9sultat un choix difficile\u00a0:<\/p>\n

\u2014 ou bien admettre l’intervention dans l’espace d’un point sans dimension spatiale,<\/p>\n

\u2014 ou bien avouer l’impossibilit\u00e9 de trouver une limite \u00e0 la ligne.<\/p>\n

Les philosophes devaient pourtant faire ce choix car les lignes mat\u00e9rielles qui les entouraient dans la r\u00e9alit\u00e9 \u00e9taient toutes limit\u00e9es et le fait d’en supprimer la largeur et l’\u00e9paisseur ne pouvait pour eux modifier leur longueur. Ils se r\u00e9sign\u00e8rent donc \u00e0 accepter la premi\u00e8re solution.<\/p>\n

Ce que l’on peut en dire, c’est qu’ils ont eu au moins le m\u00e9rite d’avoir \u00e9t\u00e9 conscients du probl\u00e8me que leur posait la conception du point limite. Ils avaient un esprit neuf et cherchaient \u00e0 se faire une opinion personnelle sur ce qui n’\u00e9tait pas encore de la routine.<\/p>\n

\u00a0La situation actuelle<\/strong><\/p>\n

Le fait actuel, c’est qu’alors que la notion de \u00ab point \u00bb a pris, dans les math\u00e9matiques modernes, une importance sans commune mesure avec celle qu’elle pouvait avoir au temps d’Euclide, plus personne ne se soucie de sa validit\u00e9. Le savant grec raisonnait sur des figures et, que les c\u00f4t\u00e9s du triangle qu’il \u00e9tudiait soient form\u00e9s de points ou non, cela ne changeait rien aux propri\u00e9t\u00e9s de ce triangle.<\/p>\n

Il n’en est plus de m\u00eame aujourd’hui. La g\u00e9om\u00e9trie de Descartes avait commenc\u00e9 \u00e0 donner au point, \u00e9l\u00e9ment d\u00e9terminant des \u00e9quations, une r\u00e9alit\u00e9 qui s’est extraordinairement d\u00e9velopp\u00e9e par la suite lorsque les math\u00e9maticiens ont cherch\u00e9 \u00e0 traduire le continu des fonctions par des nombres, ont remplac\u00e9 les notions simples de droite, de surface, de volume, par celle de groupes de points, ont postul\u00e9 l’existence des nombres irrationnels, imagin\u00e9 les nombres infinis et transfinis qui ne tirent leur justification g\u00e9om\u00e9trique que de l’existence suppos\u00e9e du point.<\/p>\n

Cependant, plus personne ne s’interroge sur le myst\u00e8re qui p\u00e8se sur cette existence. Alors que, sous pr\u00e9texte de logique, si ce n’est de refus de l’intuition, les choses les plus \u00e9videntes, comme un plus un font deux, ou que tout point d’une droite partage celle-ci en deux parties, ne paraissent plus devoir \u00eatre accept\u00e9es que sous la forme d’axiomes, pas la moindre tentative d’explication, m\u00eame pas le moindre axiome ne viennent justifier l’utilisation g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e du point comme fondement de th\u00e9ories de plus en plus ax\u00e9es sur les symboles plut\u00f4t que sur le r\u00e9el.<\/p>\n

Tout se passe, dans le monde savant actuel, comme si l’existence paradoxale du point \u00e9tait quelque chose d’octroy\u00e9, le don d’un ciel math\u00e9maticien. Nous y voyons un exemple particuli\u00e8rement clair du cas o\u00f9 la logique vient se heurter au bon sens.<\/p>\n

La logique math\u00e9matique nous dit : Le segment de ligne \u00e0 une dimension est limit\u00e9 \u00e0 ses extr\u00e9mit\u00e9s. Or, la limite d’un \u00eatre \u00e0 une dimension ne peut avoir de dimension. Donc le point limite n’a pas de dimension.<\/p>\n

Mais le bon sens nous affirme : Un \u00eatre sans dimension ne peut avoir d’existence dans l’\u00e9tendue, donc jouer le r\u00f4le de limite spatiale. La conclusion du raisonnement pr\u00e9c\u00e9dent ne peut \u00eatre qu’inexacte.<\/p>\n

D’o\u00f9 vient l’inexactitude ? Tr\u00e8s certainement des pr\u00e9misses, un raisonnement logique ne valant que par ces derni\u00e8res.<\/p>\n

Il nous sera peut-\u00eatre object\u00e9 que la notion de point r\u00e9sulte d’une abstraction, tout comme la notion de ligne \u00e0 une dimension, et que de telles notions suivent d’autres r\u00e8gles que celles du r\u00e9el.<\/p>\n

Est-ce bien vrai ?<\/p>\n

Une telle op\u00e9ration de l’esprit consiste \u00e0 isoler d’un objet l’une de ses qualit\u00e9s qui est alors consid\u00e9r\u00e9e ind\u00e9pendamment de cet objet. Ainsi, si nous consid\u00e9rons un objet rouge, nous pouvons en extraire la notion de couleur rouge. De m\u00eame, de la vision d’un objet allong\u00e9, nous pouvons retirer la notion de longueur.<\/p>\n

Mais comment peut-on faire de m\u00eame pour le point ?<\/strong><\/p>\n

De l’objet color\u00e9 on peut abstraire la qualit\u00e9 d’\u00eatre color\u00e9, mais, d’un volume \u00e0 trois dimensions, comme la trace laiss\u00e9e par la pointe d’un crayon, comment abstraire la qualit\u00e9 d’\u00eatre sans dimension, c’est-\u00e0-dire d’en isoler une qualit\u00e9 qui n’y figure pas\u00a0?<\/p>\n

Le point sans dimension ne peut pas r\u00e9sulter d’une abstraction, mais du seul raisonnement logique que nous avons cit\u00e9 ci-dessus, et que le bon sens nous dit aboutir \u00e0 une impasse.<\/p>\n

La physique pourrait-elle nous aider \u00e0 \u00e9claircir le myst\u00e8re ? C’est une science beaucoup plus en contact avec la r\u00e9alit\u00e9 que la g\u00e9om\u00e9trie actuelle. Nous ne sommes plus, avec les physiciens, dans le m\u00eame domaine de r\u00e9flexion, ni avec les m\u00eames recherches \u00e0 effectuer. Les physiciens n’ont aucun emploi, par exemple, des ensembles infinis dont la th\u00e9orie s’appuie sur le point id\u00e9al. Leurs possibilit\u00e9s de mesure ne vont pas jusque-l\u00e0. D’ailleurs, aucun d’eux n’a encore vu un point sous son microscope, ou sa trace dans la chambre \u00e0 bulles.<\/p>\n

Henri Poincar\u00e9 a encore \u00e9crit dans \u00ab La Science et l’Hypoth\u00e8se<\/em> \u00bb : \u00ab Qu’est-ce qu’un point dans l’espace ? Tout le monde croit le savoir, mais c’est une illusion. Ce que nous voyons, quand nous cherchons \u00e0 nous repr\u00e9senter un point dans l’espace, c’est une tache noire sur du papier blanc, une tache de craie sur un tableau noir, c’est toujours un objet. \u00bb<\/p>\n

Rappelons aussi ce qu’a \u00e9crit L. de Broglie, prix Nobel, dans \u00ab Mati\u00e8re et Lumi\u00e8re<\/em> \u00bb : \u00ab La m\u00e9canique cherche \u00e0 pr\u00e9voir le mouvement d’un point mat\u00e9riel soumis \u00e0 des forces. Naturellement, la conception d’un point mat\u00e9riel n’a pas plus de r\u00e9alit\u00e9 que celle d’un point g\u00e9om\u00e9trique. D\u00e8s qu’on envisage un cas concret, le point mat\u00e9riel devient un corpuscule. \u00bb<\/p>\n

Nous enregistrons son accord sur le manque de r\u00e9alit\u00e9 du point. Notons maintenant ce que nous dit Einstein dans \u00ab The Meaning of Relativity<\/em> \u00bb\u00a0: \u00ab La difficult\u00e9 qu’il faut lever avant toutes choses pour b\u00e2tir une v\u00e9ritable th\u00e9orie physique de l’Univers r\u00e9side dans la d\u00e9finition du point. \u00bb<\/p>\n

Il dit encore : \u00ab Le point math\u00e9matique para\u00eet inad\u00e9quat pour rendre compte de la r\u00e9alit\u00e9 ext\u00e9rieure. Il semble qu’il faille consid\u00e9rer \u00e0 c\u00f4t\u00e9 de lui \u00ab un point physique \u00bb qui ne serait pas d\u00e9fini par \u00ab l’intersection de deux droites sans \u00e9paisseur \u00bb comme le point math\u00e9matique… La notion de particule soul\u00e8ve d’ailleurs d’autres difficult\u00e9s. Si on la suppose ponctuelle, par exemple, on se heurte aux probl\u00e8mes de \u00ab divergence \u00bb. Les \u00e9nergies propres deviennent infinies. \u00bb<\/p>\n

Les physiciens ne partagent donc pas la confiance absolue que les math\u00e9maticiens font au point.<\/p>\n

\u00a0Conclusion<\/strong><\/p>\n

D’abord une derni\u00e8re v\u00e9rification : Est-il vraiment justifi\u00e9 d’examiner le point en tant qu’\u00e9l\u00e9ment ayant une existence propre ? Peut-on faire cet examen ind\u00e9pendamment des autres \u00e9l\u00e9ments de la g\u00e9om\u00e9trie et de la physique ?<\/p>\n

Un philosophe grec avait d\u00e9j\u00e0 pens\u00e9 que le point ne pouvait pas exister seul, qu’il \u00e9tait simplement une possibilit\u00e9 potentielle de la ligne, et que c’\u00e9tait celle-ci \u00ab qui le secr\u00e9tait \u00bb pour s’en servir comme limite. Il est vrai qu’il n’est vu tr\u00e8s souvent qu’\u00e0 travers le r\u00f4le qui lui a \u00e9t\u00e9 attribu\u00e9 d’\u00e9l\u00e9ment de structure de la ligne, de la surface et du volume.<\/p>\n

Les math\u00e9maticiens et les physiciens le consid\u00e8rent bien cependant comme un \u00e9l\u00e9ment parfaitement individualis\u00e9. Cela ressort des citations que nous avons faites de H. Poincar\u00e9, de L. de Broglie et d’Einstein. Cela r\u00e9sulte aussi, en math\u00e9matiques modernes, de l’axiome qui attache un nombre r\u00e9el, quantit\u00e9 discr\u00e8te, \u00e0 chaque point d’une droite.<\/p>\n

Si, donc, le point est un \u00e9l\u00e9ment se suffisant \u00e0 lui-m\u00eame, existant en dehors des lignes, des surfaces et des volumes, nous avons le droit de ne d\u00e9duire ses caract\u00e9ristiques que de sa d\u00e9finition.<\/p>\n

Quelle est cette d\u00e9finition ? Il y a unanimit\u00e9 dans le monde savant pour accepter la d\u00e9finition suivante du point-limite et, par confusion, du point-rep\u00e8re : \u00ab Le point est un \u00eatre g\u00e9om\u00e9trique sans aucune dimension. \u00bb<\/p>\n

\u00c0 la d\u00e9finition de la ligne, \u00eatre \u00e0 une dimension, on peut ajouter d’autres caract\u00e9ristiques, la courbure, la longueur, qui cr\u00e9ent diff\u00e9rentes natures de lignes. \u00c0 la d\u00e9finition du point, il n’existe aucun \u00e9chappatoire, aucun point ne se diff\u00e9renciant des autres points. Le fait d’\u00eatre sans dimension interdit toute autre caract\u00e9ristique spatiale.<\/p>\n

C’est donc cette d\u00e9finition qui est la clef du probl\u00e8me.<\/p>\n

Pour nous en servir nous allons maintenant parler d’une autre chose. Il est dit que la g\u00e9om\u00e9trie est la science de l’espace. Mais o\u00f9 parle-t-on d’espace lorsqu’on d\u00e9finit les premiers \u00e9l\u00e9ments de cette science ?<\/p>\n

Lorsqu’il s’agit de g\u00e9om\u00e9tries sup\u00e9rieures, accessibles \u00e0 une minorit\u00e9, une litt\u00e9rature abondante d\u00e9crit des espaces symboliques \u00e0 4, 5, n dimensions, les espaces de configuration, les super-espaces, etc.<\/p>\n

Mais personne ne semble avoir pens\u00e9 utiliser notre vulgaire espace \u00e0 trois dimensions, ainsi que les espaces \u00e0 deux dimensions et \u00e0 une dimension, si ce n’est, par la suite, pour les remplir de points sans \u00e9tendue. Quel est l’auteur qui a commenc\u00e9 \u00e0 d\u00e9crire ces espaces avant d’y placer ses figures ?<\/p>\n

Ils ont toujours \u00e9t\u00e9 ignor\u00e9s, et cela est si vrai qu’il n’est pas rare, par exemple, de voir utiliser des rotations et des rabattements dans la troisi\u00e8me dimension pour d\u00e9montrer certains th\u00e9or\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie plane, alors que ces th\u00e9or\u00e8mes portent sur des figures dont toutes les propri\u00e9t\u00e9s, toutes les caract\u00e9ristiques sont enferm\u00e9es \u00e0 l’int\u00e9rieur d’un espace \u00e0 deux dimensions.<\/p>\n

Quel genre d’espace utilise la g\u00e9om\u00e9trie classique ? Celui dans lequel se d\u00e9roulent les d\u00e9monstrations d’Euclide est un espace dans lequel les propri\u00e9t\u00e9s des figures ne d\u00e9pendent en aucune fa\u00e7on du lieu o\u00f9 elles sont situ\u00e9es. L’espace dans lequel elles sont plac\u00e9es est parfaitement homog\u00e8ne et isotrope. Il n’influe en aucune fa\u00e7on sur elle.<\/p>\n

Cependant, pour qu’elles puissent \u00eatre situ\u00e9es, il faut que lui-m\u00eame existe et, par cela m\u00eame, il leur impose une limite ext\u00e9rieure. Un espace \u00e0 une dimension ne peut autoriser la pr\u00e9sence de surfaces et de volumes, un espace \u00e0 deux dimensions ne peut recevoir de volumes. Il devrait donc \u00eatre n\u00e9cessaire, au d\u00e9part, de voir quelles sont les figures qu’un espace d\u00e9termin\u00e9 autorise.<\/p>\n

Demandons-nous donc si, pour le point \u00e0 z\u00e9ro dimension, il existe un espace \u00e0 z\u00e9ro dimension qui peut le recevoir.<\/p>\n

Nous n’avons jamais entendu ou lu quoi que ce soit utilisant cette derni\u00e8re notion. Pourtant, si l’on avait pens\u00e9 n\u00e9cessaire d’\u00e9tudier l’espace avant de parler des \u00e9l\u00e9ments qu’il contient, on se serait demand\u00e9 si, \u00e0 un segment de droite, correspondait un segment d’espace de longueur suffisante pour contenir le premier, et l’on aurait trouv\u00e9 que ce segment d’espace ne pouvait \u00eatre limit\u00e9 que par un espace sans \u00e9tendue, ce qui aurait fait appara\u00eetre le c\u00f4t\u00e9 paradoxal de cette conclusion encore plus nettement que pour le point.<\/p>\n

L’espace s’identifie \u00e0 l’\u00e9tendue. C’est gr\u00e2ce \u00e0 lui que nous d\u00e9pla\u00e7ons les objets, que nous nous d\u00e9pla\u00e7ons nous-m\u00eames et, par-l\u00e0, que nous avons la certitude de son existence. Pour toutes choses, l’espace-\u00e9tendue est une n\u00e9cessit\u00e9. S’il y a (nous ne pouvons m\u00eame pas dire quelque part) des choses qui existent sans \u00e9tendue, ces choses sont hors de notre Monde. M\u00eame nos pens\u00e9es, nous ne pouvons les imaginer en dehors de toute \u00e9tendue.<\/p>\n

Parler d’un espace sans \u00e9tendue, c’est parler d’une \u00ab \u00e9tendue sans \u00e9tendue \u00bb. Cela peut s\u00e9duire certains esprits qui aiment jongler avec les jugements du genre : \u00ab Je mens lorsque je dis la v\u00e9rit\u00e9 \u00bb. Ce jeu peut \u00eatre amusant, il peut \u00e9tonner, mais il ne peut aboutir \u00e0 quelque chose de positif.<\/p>\n

Nous pensons donc pouvoir \u00e9crire que parler d’un espace sans \u00e9tendue n’a aucun sens et que le point, contrairement \u00e0 tous les autres \u00e9l\u00e9ments g\u00e9om\u00e9triques, ne poss\u00e8de pas d’espace correspondant.<\/p>\n

Le point n’est re\u00e7u par aucun espace. C’est une caract\u00e9ristique \u00e9vidente impos\u00e9e par sa d\u00e9finition, et cette caract\u00e9ristique est enti\u00e8rement n\u00e9gative. Quelque chose qui n’occupe aucun espace, ce ne peut \u00eatre quelque chose existant g\u00e9om\u00e9triquement. La g\u00e9om\u00e9trie est la science de l’espace, et le point ne correspond \u00e0 aucun espace.<\/p>\n

Tir\u00e9e de la d\u00e9finition du point, consid\u00e9r\u00e9 comme un \u00eatre ind\u00e9pendant, cette conclusion est l’\u00e9vidence m\u00eame. C’est d’ailleurs ce que disent les physiciens que nous avons cit\u00e9s.<\/p>\n

Mais quel est le math\u00e9maticien qui, au lieu d’accepter l’existence paradoxale du point comme un fait historique, se pose la question de savoir s’il n’est pas dans l’erreur ? S’il y en avait un, il se garderait bien d’en publier la r\u00e9ponse car cela le conduirait \u00e0 mettre en doute tout son enseignement, \u00e0 nier en bloc les principes de la g\u00e9om\u00e9trie actuelle, la th\u00e9orie des ensembles et celle des fonctions, les nombres irrationnels, l’interpr\u00e9tation de la continuit\u00e9 par les transfinis, enfin une tr\u00e8s grande partie de ce qui constitue les math\u00e9matiques modernes.<\/p>\n

Et le math\u00e9maticien sent si bien, au fond de lui-m\u00eame, que c’est une question qu’il vaut mieux ne pas se poser, qu’il n’a pas voulu en faire un axiome, ce qui n’aurait \u00e9t\u00e9 qu’un simple axiome de plus parmi la longue liste de ceux qui sont \u00e0 la base des math\u00e9matiques modernes.<\/p>\n

Un axiome doit \u00eatre une propri\u00e9t\u00e9 \u00e9vidente par elle-m\u00eame et qui n’est susceptible d’aucune d\u00e9monstration (ce qui facilite bien les choses). L’existence du point est tr\u00e8s certainement ind\u00e9montrable mais c’est sa non-existence qui est \u00e9vidente, et non pas l’inverse.<\/p>\n

Peut-il \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme une abstraction transcendant le bon sens ? Nous avons vu que non. La propri\u00e9t\u00e9 d’\u00eatre sans \u00e9tendue ne peut \u00eatre abstraite de la propri\u00e9t\u00e9 d’avoir une \u00e9tendue. Autant admettre que la notion de vert peut s’abstraire de la vue d’un objet rouge.<\/p>\n

Une derni\u00e8re remarque. La d\u00e9finition du point r\u00e9sulte aussi de ce que l’on pourrait appeler un axiome non exprim\u00e9, qui poserait que tout \u00eatre g\u00e9om\u00e9trique doit avoir une limite. Le volume doit \u00eatre limit\u00e9 par la surface, la surface par la ligne, la ligne par le point. Pourquoi ce dernier, \u00eatre g\u00e9om\u00e9trique comme les pr\u00e9c\u00e9dents, \u00e9chapperait-il \u00e0 cet axiome ? Et si, logiquement, il ne doit pas y \u00e9chapper, par quoi peut-il \u00eatre limit\u00e9 ? Par un \u00eatre ayant une dimension n\u00e9gative ? Et cet \u00eatre \u00e0 une dimension n\u00e9gative, par quoi pourrait-il \u00eatre limit\u00e9 ?<\/p>\n

C’est donc l’axiome suivant que nous placerions \u00e0 la base de la g\u00e9om\u00e9trie, si tant est que parler d’axiome, cela fait plus savant : \u00ab Le point sans \u00e9tendue ne peut pas engendrer l’\u00e9tendue. \u00bb<\/p>\n

Nous pourrions dire aussi, pour rendre hommage \u00e0 la logique math\u00e9matique : \u00ab Ce qui n’est pas \u00e9tendue ne peut pas engendrer l’\u00e9tendue. Or le point g\u00e9om\u00e9trique est sans \u00e9tendue. Donc le point g\u00e9om\u00e9trique ne peut engendrer l’\u00e9tendue. \u00bb<\/p>\n

Le lecteur nous dira qu’en niant l’existence du point, nous reposons en son entier le probl\u00e8me des limites du segment de ligne. Mais, en partant d’une proposition vraie et toute de bon sens, nous devons \u00e9galement trouver pour ce probl\u00e8me une solution raisonnable. Il serait vraiment \u00e9trange que, dans l’Univers, les structures de la Nature soient paradoxales.<\/p>\n

Enfin, il est certain qu’il para\u00eet difficile, sinon impossible, de ne pas utiliser le mot \u00ab point \u00bb en math\u00e9matiques, mais il faut alors lui laisser le caract\u00e8re qu’il devait avoir \u00e0 l’origine, et qu’il a encore dans le langage courant, caract\u00e8re que nous avons attribu\u00e9 \u00e0 une nature de point que nous avons appel\u00e9 point-rep\u00e8re. Ce point n’est plus alors qu’un \u00e9l\u00e9ment de position dont on estime pouvoir n\u00e9gliger les trois dimensions.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dans cette \u00e9tude nous avons essay\u00e9, au contraire, de ne faire appel qu’aux faits r\u00e9els et de ne suivre que ce qu’indique le bon sens, ce vieux bon sens, si d\u00e9cri\u00e9 actuellement. La logique permet beaucoup de choses. Elle ne porte pas de jugement sur les pr\u00e9misses qui lui sont fournies. Quelle que soit leur nature, elle en tire des conclusions, paradoxales ou non, avec la plus grande s\u00e9r\u00e9nit\u00e9. Le bon sens est plus pointilleux. Il permet beaucoup moins d’envol\u00e9es et se fait souvent juge, ce qui le fait consid\u00e9rer comme un frein. Il nous a cependant conduit, dans les pages suivantes, \u00e0 certaines id\u00e9es que nous pensons plus saines et qui apportent des r\u00e9ponses plus naturelles aux questions pr\u00e9c\u00e9dentes. 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