{"id":17344,"date":"2016-12-18T17:01:57","date_gmt":"2016-12-18T16:01:57","guid":{"rendered":"http:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/?p=17344"},"modified":"2016-12-18T17:01:57","modified_gmt":"2016-12-18T16:01:57","slug":"universalite-mathematiques-comprehension-reel-andre-lichnerowicz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/universalite-mathematiques-comprehension-reel-andre-lichnerowicz\/","title":{"rendered":"Universalit\u00e9 des math\u00e9matiques et compr\u00e9hension du r\u00e9el par Andr\u00e9 Lichnerowicz"},"content":{"rendered":"

(Extrait du livre collectif\u00a0: Les scientifiques parlent, dirig\u00e9 par Albert Jacquard. Hachette 1987)<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Andr\u00e9 Lichnerowicz<\/b><\/a> (1915-1998) est un math\u00e9maticien fran\u00e7ais<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Le plus grand enjeu politique de notre science est sans doute l’unification de l’humanit\u00e9 \u00e0 travers une aventure commune. Tout au long de sa constitution et de sa lente diffusion au sein de peuples aux cultures \u00e9trang\u00e8res les unes aux autres, la civilisation scientifique qui est la n\u00f4tre n’a pas seulement propos\u00e9 des objets, des r\u00e9sultats et des savoir-faire ; elle a impos\u00e9, dans de larges champs, une mani\u00e8re commune de pens\u00e9e, une \u00ab m\u00e9thode \u00ab dont la mise en \u0153uvre a fait prendre conscience, de la mani\u00e8re la plus concr\u00e8te, de l’unit\u00e9 de l’esprit humain, tout en contribuant \u00e0 le faire \u00e9voluer, au sens fort du terme.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

C’est de science qu’il s’agit ici, non des techniques et de la magie de leurs r\u00e9sultats. Si science et techniques ont \u00e9t\u00e9 souvent en interaction, si les interactions tendent \u00e0 devenir de plus en plus fortes, il reste que l’histoire de la science et celle des techniques sont deux histoires distinctes. La d\u00e9couverte de la machine \u00e0 vapeur a pr\u00e9c\u00e9d\u00e9 de longtemps l’apparition de la thermodynamique qu’elle a provoqu\u00e9e, la s\u00e9lection des semences ou des races animales, celle de la g\u00e9n\u00e9tique; c’est ici l’\u00e9laboration des techniques qui a permis la constitution de larges pans de la science. Inversement, c’est la connaissance des lois fondamentales de l’\u00e9lectricit\u00e9 qui a permis tout le d\u00e9veloppement de l’industrie \u00e9lectrique et c’est cette d\u00e9marche inverse qui est, de nos jours, de plus en plus fr\u00e9quente : le g\u00e9nie g\u00e9n\u00e9tique doit tout \u00e0 la biologie mol\u00e9culaire et aux m\u00e9thodes d’action qu’elle a sugg\u00e9r\u00e9es. De plus ce sont les techniques qui fournissent aujourd’hui \u00e0 la science la plupart des moyens de son \u00e9laboration.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Une analyse de l’histoire des rapports entre science et techniques d\u00e9passerait largement le cadre et l’objet de cette contribution. Si tous les peuples sont en train de devenir consommateurs d’objets techniques, si certains d’entre eux, nombreux d\u00e9sormais, participent \u00e0 leur cr\u00e9ation, tout cela n’aboutit qu’\u00e0 une unit\u00e9 superficielle et cacophonique, travers\u00e9e de conflits, dangereux pour les cultures et, sans doute, pour l’humanit\u00e9 elle-m\u00eame.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Notre science nous apporte tout un savoir de relations, se traduisant en pouvoirs sur le r\u00e9el. Pour les uns, ces pouvoirs sont l’essentiel et toutes les th\u00e9ories que la science s\u00e9cr\u00e8te ne sont, selon les go\u00fbts philosophiques, qu’infrastructure ou superstructure par rapport \u00e0 eux. Pour les autres \u2014 et c’est ceux dont je dirai qu’ils ont l’esprit scientifique \u2014 vient d’abord l’ambition de comprendre, celle-ci \u00e9tant devenue au long des temps, comme po\u00e9sie ou musique, un besoin primaire commun de l’humanit\u00e9. Contrairement \u00e0 ce que beaucoup pensent, les pouvoirs ne sont pas d’abord vis\u00e9s, mais donn\u00e9s par surcro\u00eet, gr\u00e2ce \u00e0 l’asc\u00e8se scientifique m\u00eame, m\u00e9rit\u00e9s certes par un dur travail. On pourrait presque dire qu’aux yeux du scientifique, ces pouvoirs ne sont rien que les garants qui permettent \u00e0 chaque instant, sans rien perdre, de tout remettre en question et d’abord nos th\u00e9ories m\u00eames.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Une th\u00e9orie scientifique qui fut vraie \u2014 il en est d’autres \u2014 le demeure. C’est son champ de validit\u00e9, son degr\u00e9 d’approximation qui avaient \u00e9t\u00e9 mal jug\u00e9s et se trouvent mieux d\u00e9limit\u00e9s. La science n’est pas affaire de mode, au moins sur le long terme, et ce que nous avons appris durement au cours du temps, nous le savons bien. Newton ne s’est point \u00e9croul\u00e9, sous les coups de boutoir de la th\u00e9orie einsteinienne de la gravitation et c’est encore lui qui, \u00e0 travers les \u00e9quations de Lagrange, programme les ordinateurs qui permirent \u00e0 l’homme de mettre son pied sur la Lune, ou d’explorer par satellites telle ou telle plan\u00e8te. Malgr\u00e9 la m\u00e9canique statistique, la thermodynamique reste vraie et offre ses cadres d’int\u00e9gration aux progr\u00e8s m\u00eames de celle-ci. Le premier devoir d’une th\u00e9orie nouvelle est de rendre justice \u00e0 ses devanci\u00e8res, de comprendre le pourquoi de leurs succ\u00e8s, de les englober, non de les abolir.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

C’est bien entendu en physico-math\u00e9maticien que je voudrais essayer d’analyser comment s’assouvit peu \u00e0 peu cette ambition de comprendre, commune \u00e0 l’humanit\u00e9, non seulement parce que l\u00e0 est mon domaine de comp\u00e9tence, mais parce que math\u00e9matique et physique nous ont appris conjointement ce qu’est la science et sa m\u00e9thode, au cours de leur longue histoire.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

MATH\u00c9MATIQUE ET PHYSIQUE<\/b><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La science est n\u00e9e pour nous, dans quelques ports de l’ancienne Gr\u00e8ce, d’hommes qui aimaient se poser des questions et discuter sur les ph\u00e9nom\u00e8nes c\u00e9lestes comme sur les probl\u00e8mes de la cit\u00e9, sur la mani\u00e8re de convaincre l’autre et parfois soi-m\u00eame, et ainsi sur les pouvoirs, les prestiges et les pi\u00e8ges du langage, sur l’ad\u00e9quation de l’esprit au monde. Parmi ces hommes, certains ne se satisfaisaient pas d’histoire ou de jeux verbaux, encore moins de l’autorit\u00e9 donn\u00e9e \u00e0 l’autre par une rh\u00e9torique convenue. Ils con\u00e7urent le projet d’un type de discours sans quiproquo ni malentendu, un discours coh\u00e9rent et contraignant pour l’autre quel qu’il soit, citoyen ou esclave, grec, m\u00e9t\u00e8que ou barbare, un discours capable, par sa forme m\u00eame, d’interdire le refus de son contenu. De tels discours, ils r\u00e9alis\u00e8rent quelques exemples d’abord locaux, mais fonctionnant clairement. Les math\u00e9matiques \u00e9taient n\u00e9es avec la notion de d\u00e9monstration.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Le d\u00e9veloppement math\u00e9matique a \u00e9t\u00e9 permis par la prise de conscience, laborieusement conquise au cours des si\u00e8cles, que la nature des choses n’importe pas au math\u00e9maticien. Un ensemble peut \u00eatre, j’ose le dire, un ensemble de n’importe quoi, s’il satisfait \u00e0 quelques r\u00e8gles g\u00e9n\u00e9rales de d\u00e9finition, \u00e9labor\u00e9es pas \u00e0 pas, et qui \u00e9loignent tout paradoxe. Entre des ensembles convenables il peut exister des sortes de dictionnaires parfaits : \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment du premier ensemble correspond un et un seul \u00e9l\u00e9ment du second, et inversement. Si nous nous int\u00e9ressons \u00e0 des relations entre \u00e9l\u00e9ments du premier ensemble, celles-ci se trouvent transport\u00e9es par le dictionnaire en relations concernant le second ensemble. Nous disons qu’il y a isomorphisme entre les ensembles munis de leurs relations. C’est la notion d’isomorphisme qui, pour une large part, fonde les math\u00e9matiques et le premier acte math\u00e9matifiant de l’homme fut sans doute celui du berger comptant sur ses doigts les brebis du troupeau, c’est-\u00e0-dire usant de cette sorte de dictionnaire parfait dont j’ai parl\u00e9.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

L’\u00eatre des choses ne compte pas pour le math\u00e9maticien et il lui arrive d’identifier sans scrupules des objets de natures compl\u00e8tement diff\u00e9rentes, lorsqu’un isomorphisme l’assure qu’il ne ferait que prononcer deux fois exactement le m\u00eame discours, dans deux langues rigoureusement \u00e9quivalentes. Il arrive que l’on parle d’\u00ab \u00eatre math\u00e9matique\u00a0\u00bb, mais au vrai cette expression n’a pas grand sens. Un ensemble de n’importe quelle nature peut \u00eatre math\u00e9matifi\u00e9 dans la mesure o\u00f9 il se soumet \u00e0 ce singulier traitement des isomorphismes, ou plut\u00f4t dans la mesure exacte o\u00f9 ce que nous n\u00e9gligeons ainsi, tout l’\u00eatre des choses, ne nous importe pas.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Ce caract\u00e8re radicalement non ontologique \u2014 l’\u00catre est, au mieux, mis entre parenth\u00e8ses \u2014 qui est \u00e0 la base des math\u00e9matiques, elles le transportent partout avec elles et c’est lui qui leur conf\u00e8re non seulement leur puissance et leur polyvalence, mais aussi leur universalit\u00e9, transcendante \u00e0 toute culture. Nos math\u00e9matiques contemporaines ont des sources grecques, arabes ou persanes, indiennes, occidentales ; elles ont re\u00e7u plus r\u00e9cemment des contributions japonaises ou chinoises. Mais ce sont une seule et m\u00eame math\u00e9matique, intelligible \u00e0 tous les hommes, t\u00e9moignage de l’unit\u00e9 de l’esprit humain et \u00e0 laquelle chacun peut apporter sa pierre.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Qu’avons-nous donc appris? Que tout discours qui se veut sans quiproquo, ni bruit de fond, tout discours d\u00e9pourvu de contradictions ne peut \u00eatre qu’un discours de type math\u00e9matique. Tout autre discours, n\u00e9cessairement, porte toujours en lui-m\u00eame ses contradictions. Mais l’ironie math\u00e9matique ajoute : il nous est impossible de prouver math\u00e9matiquement que le discours math\u00e9matique lui-m\u00eame est sans contradictions.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Si les math\u00e9matiques sont n\u00e9es de la Gr\u00e8ce antique, mais sont longtemps rest\u00e9es d\u00e9pourvues de vraies applications, notre science ne se constitue vraiment que deux mille ans plus tard, en un tissu ind\u00e9chirable fait d’une cha\u00eene th\u00e9or\u00e9tisante, donc de type math\u00e9matique, et d’une trame exp\u00e9rimentale. Comme nous le savons, il s’agit, en enserrant le r\u00e9el dans un r\u00e9seau d’observations et d’exp\u00e9rimentations privil\u00e9gi\u00e9es, non de \u00ab l’expliquer\u00a0\u00bb, mais de le comprendre et de pr\u00e9voir et contr\u00f4ler son comportement. Pour cette science qui s’\u00e9labore en r\u00e9seau d’interactions et dont les pouvoirs furent d’abord assur\u00e9s dans les champs de la m\u00e9canique et de la physique, les concepts de cause et d’effet sont notions bien trop na\u00efves et causalit\u00e9 comme finalit\u00e9 sont attach\u00e9es \u00e0 des cultures et rel\u00e8vent d’un statut pr\u00e9scientifique comme nous le verrons.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Le principal obstacle a \u00e9t\u00e9, au long des si\u00e8cles, l’intelligence du mouvement et l’\u00e9laboration des instruments n\u00e9cessaires \u00e0 en fournir une pr\u00e9sentation fid\u00e8le. L’apparition du principe de l’inertie \u00e0 la fin du XIIIe si\u00e8cle, apparition toute sp\u00e9culative, la relativit\u00e9 galil\u00e9enne sur laquelle nous allons revenir puis, avec le calcul diff\u00e9rentiel, l’\u00e9laboration de la dynamique newtonienne sont les \u00e9tapes de cette conqu\u00eate. Celle-ci faite, les choses vont aller tr\u00e8s vite jusqu’aux grandes th\u00e9ories physiques de notre temps qui marquent une intelligence profonde de ph\u00e9nom\u00e8nes qui ne sont plus \u00e0 l’\u00e9chelle de l’homme.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Dans ces parties les plus d\u00e9velopp\u00e9es de notre science, la math\u00e9matique, loin d’\u00eatre seulement fournisseuse d’outils ext\u00e9rieurs, assume g\u00e9n\u00e9ralement un r\u00f4le plus ambitieux et plus n\u00e9cessaire. Elle se fait mode de pens\u00e9e pour appr\u00e9hender la r\u00e9alit\u00e9 et elle ne pr\u00e9tend \u00e0 son intelligence que lorsqu’il a \u00e9t\u00e9 possible de construire, pour l’ensemble des ph\u00e9nom\u00e8nes \u00e9tudi\u00e9s, un mod\u00e8le math\u00e9matique coh\u00e9rent et efficace. Les th\u00e9ories physiques contemporaines, relativit\u00e9, m\u00e9canique quantique, comme la m\u00e9canique classique elle-m\u00eame, sont constitu\u00e9es \u00e0 partir de l’\u00e9laboration de tels mod\u00e8les et le d\u00e9veloppement de nouveaux concepts math\u00e9matiques a souvent \u00e9t\u00e9 \u00e9troitement li\u00e9 \u00e0 notre exigence d’intelligence du r\u00e9el.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Une th\u00e9orie physique n’a pas deux sens, un sens \u00e9sot\u00e9rique traduisible seulement dans un jargon sophistiqu\u00e9 et \u00e0 l’aide de formules, et un sens vulgaire qu’il serait permis d’exprimer dans notre langue usuelle, h\u00e9riti\u00e8re d’exp\u00e9riences quotidiennes et model\u00e9e par une culture. Une telle th\u00e9orie est toujours fond\u00e9e sur des concepts math\u00e9matiques qui pr\u00e9sentent souvent deux caract\u00e8res d’universalit\u00e9 : l’universalit\u00e9 dans l’esprit des hommes propre \u00e0 tout concept math\u00e9matique et, pour certains, une universalit\u00e9 pratique qui en fait les mat\u00e9riaux avec lesquels toute th\u00e9orie physique est b\u00e2tie. Toute tentative d’expression en langue vulgaire d’une th\u00e9orie physique est, peu ou prou, \u00e0 base d’analogies variables selon les cultures et capables de nous trahir, analogies qui ne disposent que d’un pouvoir heuristique pouvant stimuler notre imagination. Avant d’en venir \u00e0 la relativit\u00e9 ou \u00e0 la m\u00e9canique quantique, il nous faut donc, pour minimiser les risques de quiproquos, analyser certains concepts ou certaines approches math\u00e9matiques qui jouent, pour les th\u00e9ories physiques, un r\u00f4le universel.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

EXEMPLES D’INSTRUMENTS DE PENS\u00c9E POUR LA PHYSIQUE : GROUPES ET CALCUL DES VARIATIONS<\/b><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La notion de groupe \u2014 avec ce nom m\u00eame \u2014 appara\u00eet en pleine lumi\u00e8re avec Galois, vers 1830, dans un contexte fort \u00e9loign\u00e9 de la physique, celui de la r\u00e9solution par radicaux des \u00e9quations alg\u00e9briques. Ces groupes vont se manifester sous leur double r\u00f4le\u00a0: groupes de transformations de l’ensemble des racines de l’\u00e9quation, soumises \u00e0 certaines conditions, mais groupes \u00ab abstraits\u00a0\u00bb aussi, o\u00f9 les objets math\u00e9matiques sont les \u00e9l\u00e9ments du groupe lui-m\u00eame et la mani\u00e8re dont ils se composent. Mais tout au long du XIXe si\u00e8cle, ce concept va s’incarner en g\u00e9om\u00e9trie, en m\u00e9canique et dans l’\u00e9lectromagn\u00e9tisme de Maxwell sous la forme de groupes de transformations.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

En fait cette notion de groupe sous-tend depuis longtemps certaines activit\u00e9s de l’esprit des hommes. Dans la g\u00e9om\u00e9trie grecque, qui culmine avec Euclide, on voit figurer, dans les axiomes concernant l’\u00ab \u00e9galit\u00e9\u00a0\u00bb des figures, les \u00e9nonc\u00e9s suivants :<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

1. une figure est \u00e9gale \u00e0 elle-m\u00eame;<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

2. si une figure est \u00e9gale \u00e0 une seconde, la seconde figure est \u00e9gale \u00e0 la premi\u00e8re;<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

3. si une figure est \u00e9gale \u00e0 une seconde et cette seconde \u00e9gale \u00e0 une troisi\u00e8me, la premi\u00e8re figure est \u00e9gale \u00e0 la troisi\u00e8me.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Dans ces trois \u00e9nonc\u00e9s se trouvent sous-jacents les axiomes de groupe, mais sous une forme encore bien maladroite. Seule l’apparition progressive du langage ensembliste a permis de construire des \u00e9nonc\u00e9s ayant un caract\u00e8re universel.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Si l’on dispose d’un ensemble d\u00e9termin\u00e9 E, on est amen\u00e9 \u00e0 s’int\u00e9resser \u00e0 ses transformations. Une transformation f de E fait correspondre \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment a de E un \u00e9l\u00e9ment b de E et inversement. On obtient ainsi une \u00ab transformation inverse\u00a0\u00bb. Deux telles transformations f, g, de E se composent naturellement de mani\u00e8re associative : la compos\u00e9e g o f est la transformation qui \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment a de E fait correspondre l’\u00e9l\u00e9ment g [f (a)].<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Un ensemble G de transformations de E sera un groupe de transformations si 1. il contient toujours la compos\u00e9e de deux transformations appartenant \u00e0 G; 2. il contient la transformation identit\u00e9, celle qui fait correspondre \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment de E cet \u00e9l\u00e9ment m\u00eame; 3. il contient la transformation inverse de toute transformation appartenant \u00e0 G. On per\u00e7oit qu’\u00e0 l’ordre pr\u00e8s, ces axiomes correspondent \u00e0 ceux concernant l’\u00e9galit\u00e9 des figures en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. Cela pos\u00e9 qui nous facilite le langage, la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne de l’espace repose tout enti\u00e8re sur le groupe des d\u00e9placements de l’espace, groupe dont les \u00e9l\u00e9ments sont obtenus par composition des rotations et des translations et qui est un groupe de transformations de l’espace pr\u00e9servant les distances. Les translations, pour leur propre compte, forment un groupe dont la loi de composition, d\u00e9crite par l’addition des vecteurs, est commutative. Les rotations autour d’un point forment aussi un groupe. Un groupe laisse invariants, inchang\u00e9s certains \u00e9l\u00e9ments ou certaines quantit\u00e9s, ici la distance par exemple, et cela est fort important. D\u00e8s l’apparition avec Riemann et Lobatchevski des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, le groupe fondamental de toute g\u00e9om\u00e9trie devint l’instrument essentiel de leur analyse et ce type d’analyse m\u00eame s’\u00e9tendit \u00e0 la m\u00e9canique et \u00e0 l’\u00e9lectromagn\u00e9tisme.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La m\u00e9canique newtonienne s’est exprim\u00e9e, dans ses premiers d\u00e9veloppements, en termes de masses, d’acc\u00e9l\u00e9rations, de forces. Il en est notamment ainsi pour la th\u00e9orie newtonienne de la gravitation. Mais quel \u00e9tait donc le groupe qui laissait invariantes les \u00e9quations de cette m\u00e9canique? Il fut tr\u00e8s t\u00f4t reconnu que ce groupe \u00e9tait le groupe engendr\u00e9 par composition des d\u00e9placements de l’espace, des translations dans le temps et des mouvements rectilignes uniformes. On peut dire qu’il s’agit du groupe fondamental de transformations de l’espace-temps de Newton. Le groupe en question, dont chaque transformation est d\u00e9crite par les valeurs de dix param\u00e8tres, ou, comme nous disons d\u00e9sormais, est de dimension 10, est ce que nous nommons le groupe de Galil\u00e9e, en hommage au savant qui, le premier, rendit pleine justice au r\u00f4le du mouvement rectiligne uniforme.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

L’invariance des \u00e9quations de la dynamique newtonienne par le groupe de Galil\u00e9e est la meilleure mani\u00e8re d’exprimer le principe de relativit\u00e9 galil\u00e9en, qui se traduit par l’impossibilit\u00e9, par des moyens m\u00e9caniques terrestres, de mettre en \u00e9vidence par exemple une \u00ab vitesse absolue \u00ab de la Terre, c’est-\u00e0-dire sa vitesse par rapport \u00e0 un rep\u00e8re li\u00e9 au centre de gravit\u00e9 du syst\u00e8me solaire et aux directions fixes par rapport aux \u00e9toiles.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Sous sa forme primitive, la description newtonienne des mouvements est d’apparence causaliste, la force au sens newtonien jouant ici le r\u00f4le de cause des acc\u00e9l\u00e9rations, c’est-\u00e0-dire de l’\u00e9cart des mouvements par rapport aux mouvements rectilignes uniformes, li\u00e9s aux rep\u00e8res galil\u00e9ens. Dans l’optique de la m\u00e9canique classique, les rep\u00e8res galil\u00e9ens sont transform\u00e9s les uns dans les autres par les transformations du groupe de Galil\u00e9e. Il en r\u00e9sulte le v\u00e9ritable \u00e9nonc\u00e9 du principe de relativit\u00e9 galil\u00e9en : aucune exp\u00e9rience purement m\u00e9canique, faite dans un rep\u00e8re galil\u00e9en, ne doit permettre de mettre en \u00e9vidence le mouvement de ce rep\u00e8re galil\u00e9en par rapport \u00e0 un autre rep\u00e8re galil\u00e9en.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Vers 1865, Maxwell r\u00e9ussissait \u00e0 unir champ \u00e9lectrique et champ magn\u00e9tique en une seule entit\u00e9 le champ \u00e9lectromagn\u00e9tique, r\u00e9gi par des \u00e9quations qui portent son nom. Au sein de cette entit\u00e9 vont se trouver r\u00e9unies les diff\u00e9rentes radiations alors connues ou cr\u00e9\u00e9es au cours des quarante ann\u00e9es suivantes, la lumi\u00e8re certes, mais aussi d’un c\u00f4t\u00e9 rayons X ou rayons <\/span><\/span><\/span>?<\/span><\/span><\/span><\/span>, de l’autre les ondes dites radio. Il s’agissait l\u00e0 de la premi\u00e8re grande unification d’un domaine de la physique. La synth\u00e8se de l’\u00e9lectrique et du magn\u00e9tique mettait en \u00e9vidence l’importance d’une constante C ayant les dimensions d’une vitesse et qui se r\u00e9v\u00e9lait \u00e0 l’\u00e9tude th\u00e9orique n’\u00eatre rien d’autre que la vitesse de propagation dans le vide commune aux ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques, donc celle de la lumi\u00e8re. Les \u00e9quations de Maxwell conduisaient \u00e0 une \u00e9quation des ondes analogue \u00e0 celle connue en m\u00e9canique des fluides, dans laquelle C jouait le m\u00eame r\u00f4le que la vitesse du son par exemple. Vers 1900, plusieurs th\u00e9oriciens, dont Lorentz et Poincar\u00e9, proc\u00e9daient \u00e0 des \u00e9tudes qui revenaient \u00e0 d\u00e9terminer le groupe d’invariance du premier membre de l’\u00e9quation des ondes (correspondant sous des hypoth\u00e8ses convenables \u00e0 un groupe d’invariance des \u00e9quations de Maxwell) qui apparaissait comme profond\u00e9ment diff\u00e9rent du groupe de Galil\u00e9e. Il s’agissait l\u00e0 de la premi\u00e8re approche de ce qu’on a nomm\u00e9 le groupe de Poincar\u00e9, sur lequel est fond\u00e9e la th\u00e9orie de la relativit\u00e9. Nous y reviendrons.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Un autre instrument universel est constitu\u00e9 par le calcul des variations. Le prototype pourrait \u00eatre celui qui apparut fort t\u00f4t en g\u00e9om\u00e9trie \u00e9l\u00e9mentaire, lorsqu’on d\u00e9montra que le segment de droite est le chemin de plus courte longueur pour aller d’un point \u00e0 un autre. La premi\u00e8re apparition manifeste du calcul des variations dans la science est certainement donn\u00e9e par le principe de Fermat relatif \u00e0 la propagation de la lumi\u00e8re. L’indice de r\u00e9fraction en un point d’un milieu transparent est en fait le quotient de la vitesse de la lumi\u00e8re C dans le vide par sa vitesse dans le milieu ; Fermat \u00e9non\u00e7a que le chemin d’un rayon lumineux, \u00e9ventuellement courb\u00e9 par les changements d’indice de r\u00e9fraction, est pr\u00e9cis\u00e9ment celui qui rend minimum le temps mis par la lumi\u00e8re pour aller d’un point \u00e0 un autre. En fait \u00e0 tout chemin \u00e9ventuel, on peut faire correspondre par une int\u00e9grale un temps, exactement comme, \u00e0 un chemin dans l’espace, on fait correspondre une longueur. La lumi\u00e8re, pourrait-on dire, choisit le chemin qui la fait arriver au plus vite.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Sous cette forme, le principe de Fermat englobe toutes les lois de l’optique g\u00e9om\u00e9trique, en particulier ces lois m\u00eames de la r\u00e9fraction qu’une certaine tradition a attribu\u00e9 \u00e0 Descartes, bien qu’elles remontent probablement \u00e0 des savants hindous. A cause de Descartes m\u00eame et de son mode de pens\u00e9e concernant la lumi\u00e8re qui s’imposa trop longtemps, ce principe fut mal compris des contemporains dont l’interpr\u00e9tation de l’indice de r\u00e9fraction \u00e9tait erron\u00e9e : ils pensaient que la lumi\u00e8re se propage plus vite dans un milieu transparent que dans le vide et, par suite, inversaient les termes du quotient qui caract\u00e9rise cet indice; Huygens seul lui rendit justice et l’utilisa dans des travaux profonds. Ce n’est qu’au d\u00e9but du XIXe si\u00e8cle que le principe re\u00e7ut, avec les premiers travaux de Fresnel sur les ondes lumineuses, son statut d\u00e9finitif.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Si le calcul des variations est d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent implicitement dans la pens\u00e9e de Leibniz \u00ab\u00a0le meilleur des mondes possibles\u00a0\u00bb, mais quelle est la fonction crit\u00e8re susceptible de donner un sens \u00e0 cette notion de \u00ab le meilleur\u00a0\u00bb ?), l’instrument diff\u00e9rentiel rigoureux correspondant fut \u00e9labor\u00e9 dans les ann\u00e9es 1780 par Lagrange en vue de la m\u00e9canique. Il s’agit de d\u00e9duire d’un principe de \u00ab minimum\u00a0\u00bb, d’\u00ab optimum\u00a0\u00bb ou d’\u00ab extremum\u00a0\u00bb un syst\u00e8me diff\u00e9rentiel qui le traduit localement. C’est encore l’approche de Lagrange qui r\u00e8gne de nos jours, sous un autre nom (\u00ab\u00a0optimisation\u00a0\u00bb de Kuhn-Tucker) dans les \u00ab programmes\u00a0\u00bb ou la programmation \u00e9tudi\u00e9s par les \u00e9conomistes.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Lagrange, et apr\u00e8s lui Hamilton sous une autre forme, montr\u00e8rent que les \u00e9quations de la dynamique newtonienne sont exactement celles d’un probl\u00e8me de calcul des variations qui consiste \u00e0 minimiser ou extr\u00e9miser une grandeur d\u00e9pendant de la classe des mouvements envisag\u00e9s, l’action; cette traduction est connue sous le nom de principe de moindre action. D\u00e8s ce moment nous pouvons faire une \u00e9trange constatation : une m\u00eame th\u00e9orie, la dynamique newtonienne ou m\u00e9canique classique, peut \u00eatre d\u00e9crite, comme nous l’avons vu, en termes de forces comme d’apparence causaliste, mais aussi comme d’apparence finaliste \u00e0 travers l’action. Quoi de plus finaliste aussi que le principe de Fermat et cette \u00ab optimisation\u00a0\u00bb du temps comme fonction crit\u00e8re?<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Il ne s’agit pas l\u00e0 d’une co\u00efncidence. En fait d\u00e8s 1865, Maxwell \u00e9tendait la notion d’action au champ \u00e9lectromagn\u00e9tique et percevait d\u00e9j\u00e0 le caract\u00e8re universel de cette notion. A travers son interpr\u00e9tation de la lumi\u00e8re comme radiation \u00e9lectromagn\u00e9tique, on pouvait justifier le principe de Fermat et le relier \u00e0 un principe de moindre action. D’autre part, plus r\u00e9cemment, les math\u00e9maticiens ont \u00e9tudi\u00e9 les syst\u00e8mes diff\u00e9rentiels (d’apparence causaliste) qui peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme \u00e9manant d’un \u00ab principe variationnel\u00a0\u00bb (donc \u00e0 vocation finalisante) ; ils ont montr\u00e9 qu’il s’agissait d’une large classe de syst\u00e8mes satisfaisant une propri\u00e9t\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale abstraite et que, pour des raisons non moins g\u00e9n\u00e9rales, les syst\u00e8mes aptes \u00e0 la repr\u00e9sentation du r\u00e9el physique devaient poss\u00e9der cette propri\u00e9t\u00e9. Le caract\u00e8re universel des principes variationnels apparaissait en pleine lumi\u00e8re.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Il est sans doute permis de dire que, selon le regard port\u00e9 sur elle, toute th\u00e9orie physique peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme causaliste ou finaliste, alors qu’il s’agit d’une seule et m\u00eame th\u00e9orie. A ce niveau d’intelligence du r\u00e9el, causalit\u00e9 et finalit\u00e9 apparaissent comme des notions inad\u00e9quates, marqu\u00e9es par nos diff\u00e9rentes cultures et ne pouvant servir, ici ou l\u00e0, que de b\u00e9quilles heuristiques.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Calcul des variations et invariance d’une th\u00e9orie par groupe se sont d\u00e9couverts en \u00e9troite interaction. L’invariance d’un syst\u00e8me d’\u00e9quations diff\u00e9rentielles par un groupe de transformations peut se lire sur l’action du principe variationnel dont il \u00e9mane, pour lequel il est le syst\u00e8me des \u00ab \u00e9quations de Lagrange\u00a0\u00bb. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment cette invariance est lisible sur l’int\u00e9grant qui d\u00e9finit l’action et que nous nommons lagrangien en hommage \u00e0 l’homme qui appara\u00eet ainsi non seulement comme le plus grand m\u00e9canicien, mais sans doute comme le plus grand physicien math\u00e9maticien de tous les temps. Une th\u00e9orie physique, de nos jours essentiellement une th\u00e9orie de champ dont le prototype fut pr\u00e9cis\u00e9ment celle du champ \u00e9lectromagn\u00e9tique, repose toujours sur une action, c’est-\u00e0-dire sur un lagrangien et le mode d’invariance du lagrangien par un groupe dicte l’invariance correspondante des \u00e9quations de champ qui en r\u00e9sultent.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Mais il y a plus. Dans les ann\u00e9es 1920, E. Noether d\u00e9duisit de l’invariance d’un principe variationnel par un groupe, des identit\u00e9s dites de conservation et cela conduisit de plus en plus consciemment \u00e0 percevoir que l’invariance d’une th\u00e9orie par un groupe dictait quelles \u00e9taient les \u00ab bonnes grandeurs physiques\u00a0\u00bb fondamentales pour la th\u00e9orie.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

C’est ainsi qu’\u00e0 chaque degr\u00e9 de libert\u00e9 du groupe de Galil\u00e9e correspond la mise en \u00e9vidence d’une grandeur fondamentale de la m\u00e9canique classique ; par exemple \u00e0 la translation d’espace correspond l’impulsion (ou quantit\u00e9 de mouvement) p = mv, \u00e0 la translation dans le temps l’\u00e9nergie. Ce n’est pas le vecteur vitesse, ou sa d\u00e9riv\u00e9e le vecteur acc\u00e9l\u00e9ration qui importent, mais le produit p du vecteur vitesse par la masse. Il peut sembler n\u00e9gligeable de substituer \u00e0 la classique \u00e9quation de Newton m<\/span><\/span><\/span>?<\/span><\/span><\/span><\/span> = F, l’\u00e9quation \u00e9quivalente dp\/dt = F et cela est pourtant, du point de vue de la m\u00e9canique statistique par exemple, fort important.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

RELATIVIT\u00c9<\/b><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La th\u00e9orie dite de la relativit\u00e9 est n\u00e9e conceptuellement d’un conflit entre groupes : groupe de Galil\u00e9e comme groupe d’invariance de la m\u00e9canique classique, groupe de Poincar\u00e9 comme groupe d’invariance de l’\u00e9lectromagn\u00e9tisme. Elle est n\u00e9e historiquement du r\u00e9sultat n\u00e9gatif de l’exp\u00e9rience de Michelson.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Examinons quel \u00e9tait, autour de 1900, le contenu du discours physique sur l’\u00e9lectromagn\u00e9tisme, un discours qui se r\u00e9v\u00e9la d’abord parfaitement heuristique, puis tr\u00e8s vite certainement erron\u00e9. Divers faits exp\u00e9rimentaux avaient conduit au cours du XIXe si\u00e8cle \u00e0 admettre l’existence d’un \u00e9ther en repos absolu, emplissant tout l’espace et ne participant pas au mouvement de la mati\u00e8re, mais si\u00e8ge de la propagation des ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques : parmi ces faits figurait par exemple l’exp\u00e9rience de Fizeau sur la vitesse de la lumi\u00e8re dans un milieu transparent entra\u00een\u00e9.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

De cette repr\u00e9sentation d’un \u00e9ther immobile, il semblait r\u00e9sulter in\u00e9vitablement que la valeur de la vitesse de la lumi\u00e8re mesur\u00e9e par un observateur en mouvement par rapport \u00e0 l’\u00e9ther d\u00e9pendait de ce mouvement et en particulier de la direction de sa vitesse ; C \u00e9tant la vitesse de la lumi\u00e8re par rapport \u00e0 l’\u00e9ther et V celle de l’observateur (en valeur absolue), celui-ci devrait, selon la cin\u00e9matique classique, observer une vitesse (C + V) ou (C – V) lorsqu’il se meut dans la m\u00eame direction et le m\u00eame sens que la lumi\u00e8re, ou le sens oppos\u00e9. Il devait y avoir \u00ab vent d’\u00e9ther\u00a0\u00bb pour l’observateur.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Ceci fut le principe d’une exp\u00e9rience c\u00e9l\u00e8bre de Michelson, par laquelle il cherchait \u00e0 mettre en \u00e9vidence le mouvement de la Terre par rapport \u00e0 l’\u00e9ther. Vis-\u00e0-vis du rep\u00e8re de Copernic (ayant pour origine le centre de gravit\u00e9 du syst\u00e8me solaire et des axes de directions fixes par rapport aux \u00e9toiles), la vitesse du centre de la Terre sur sa trajectoire est d’environ 30 km\/sec., et en six mois le vecteur vitesse correspondant se trouve chang\u00e9 sensiblement en son oppos\u00e9. Il pourrait arriver qu’\u00e0 un instant, le mouvement inconnu du rep\u00e8re de Copernic par rapport au fameux \u00e9ther annule le mouvement de la Terre par rapport \u00e0 celui-ci, mais cette co\u00efncidence ne saurait subsister pendant six mois par exemple.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Par un dispositif interf\u00e9rentiel sophistiqu\u00e9 pour l’\u00e9poque, Michelson pouvait mettre en \u00e9vidence un \u00ab vent d’\u00e9ther\u00a0\u00bb \u00e9gal seulement \u00e0 2 km\/sec. Or, en r\u00e9alit\u00e9, dans le domaine de pr\u00e9cision de ses mesures, il n’en observe aucun et ce r\u00e9sultat n\u00e9gatif subsiste pendant une ann\u00e9e. D’autres exp\u00e9riences plus r\u00e9centes ont toujours enti\u00e8rement confirm\u00e9 ce r\u00e9sultat. Ainsi, \u00e9tait-on amen\u00e9 exp\u00e9rimentalement \u00e0 penser qu’il n’existe pas de d\u00e9pendance de la vitesse de la lumi\u00e8re par rapport \u00e0 l’\u00e9tat de mouvement de l’observateur. Quantit\u00e9 d’hypoth\u00e8ses artificielles ou contraires \u00e0 d’autres faits exp\u00e9rimentaux furent avanc\u00e9s pour expliquer ce r\u00e9sultat n\u00e9gatif aux environs de 1900. Il \u00e9tait r\u00e9serv\u00e9 \u00e0 Lorentz et Einstein (1904 -1905) d’adopter la seule d\u00e9marche coh\u00e9rente qui conduisit \u00e0 la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 dite restreinte.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Lorentz et Einstein prirent pour point de d\u00e9part le r\u00e9sultat m\u00eame de l’exp\u00e9rience de Michelson. Celle-ci montrait en effet que la vitesse de la lumi\u00e8re est la m\u00eame par rapport \u00e0 tous les rep\u00e8res galil\u00e9ens constitu\u00e9s par le temps classique et par les rep\u00e8res d’espace d\u00e9finis approximativement, pendant un court intervalle de temps, par les positions le long de l’orbite terrestre d’un rep\u00e8re li\u00e9 au centre de la Terre. On obtient ainsi le principe de constance de vitesse de la lumi\u00e8re (ou de toute radiation \u00e9lectromagn\u00e9tique).<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Par rapport \u00e0 tous les rep\u00e8res galil\u00e9ens, dans le vide, la vitesse de la lumi\u00e8re est toujours la m\u00eame et \u00e9gale \u00e0 C.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Il pouvait y avoir quelque inconv\u00e9nient \u00e0 fonder un principe d’une telle g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 sur le r\u00e9sultat d’un seul type d’exp\u00e9rience qu’un autre type d’exp\u00e9rience aurait pu \u00e9ventuellement mettre en d\u00e9faut. Mais, en fait, l’exp\u00e9rience de Michelson n’avait fait qu’attirer imp\u00e9rieusement l’attention des physiciens sur un fait math\u00e9matique, rest\u00e9 un peu dans l’ombre bien qu’il f\u00fbt connu sous diff\u00e9rentes formes : le conflit entre les groupes d’invariance fondamentaux de la m\u00e9canique classique et de l’\u00e9lectromagn\u00e9tisme. L’introduction m\u00eame de cet \u00e9ther et la r\u00e9habilitation du repos absolu, en fait absent de la m\u00e9canique classique, \u00e9tait signe de cette contradiction. Un autre signe \u00e9tait l’impossibilit\u00e9 de b\u00e2tir une th\u00e9orie coh\u00e9rente de l’\u00e9lectrodynamique des corps charg\u00e9s en mouvement.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Pour trancher ce conflit, Einstein propose d’admettre le principe de constance de vitesse des radiations \u00e9lectromagn\u00e9tiques, de conserver par suite la th\u00e9orie \u00e9lectromagn\u00e9tique de Maxwell, consid\u00e9r\u00e9e comme rigoureuse, et de modifier la m\u00e9canique classique de fa\u00e7on \u00e0 la mettre en accord avec l’\u00e9lectromagn\u00e9tisme, c’est-\u00e0-dire de lui substituer une m\u00e9canique, dite relativiste, admettant comme groupe d’invariance le groupe de Poincar\u00e9. La m\u00e9canique classique n’apparaissait plus que comme une approximation, excellente pour les vitesses \u00e0 l’\u00e9chelle humaine, de la m\u00e9canique relativiste qui naissait. On peut dire qu’inversement la m\u00e9canique relativiste apparaissait comme d\u00e9formation essentielle de la m\u00e9canique classique, le param\u00e8tre de d\u00e9formation \u00e9tant 1\/C.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Au principe de relativit\u00e9 galil\u00e9en, se trouvait substitu\u00e9 le principe de relativit\u00e9 einsteinien\u00a0: Aucune exp\u00e9rience physique (en particulier m\u00e9canique, \u00e9lectromagn\u00e9tique ou \u00e9lectrodynamique) faite dans un rep\u00e8re galil\u00e9en ne doit permettre de mettre en \u00e9vidence le mouvement d’un rep\u00e8re galil\u00e9en par rapport \u00e0 un autre rep\u00e8re galil\u00e9en. La notion d’\u00e9ther perd ainsi tout r\u00f4le et toute signification, et dispara\u00eet. Chaque rep\u00e8re porte en lui-m\u00eame son temps et les notions newtoniennes d’espace et de temps \u00ab absolus\u00a0\u00bb s’\u00e9vanouissent. C’est sur la notion g\u00e9om\u00e9trique d’espace-temps (introduite en 1907 par Minkowski) que la physique va se fonder, le partage entre espace et temps \u00e9tant d\u00e9sormais relatif \u00e0 chaque rep\u00e8re galil\u00e9en, exactement comme la verticalit\u00e9 et l’horizon du lieu partagent l’espace ordinaire en le produit d’un plan par une droite.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

C’est le groupe de Poincar\u00e9 qui transforme ainsi d\u00e9sormais les rep\u00e8res galil\u00e9ens les uns en les autres et les \u00e9quations de la physique, rapport\u00e9s \u00e0 des rep\u00e8res galil\u00e9ens, doivent \u00eatre invariantes par l’action du groupe de Poincar\u00e9, consid\u00e9r\u00e9 comme groupe de transformations de l’espace-temps de Minkowski, fondant sa g\u00e9om\u00e9trie.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Cet espace-temps de Minkowski, de dimension 4, ne diff\u00e8re de l’espace euclidien de m\u00eame dimension que par une particularit\u00e9 importante : au lieu que, dans un rep\u00e8re convenable, un th\u00e9or\u00e8me de Pythagore g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 traduise le carr\u00e9 d’un vecteur comme somme des carr\u00e9s des composantes de ce vecteur, ce carr\u00e9 appara\u00eetra comme somme alg\u00e9brique, trois carr\u00e9s ayant un signe et le quatri\u00e8me, correspondant au temps, l’autre signe. Dans cette conception g\u00e9om\u00e9trique, directions temporelles et directions spatiales sont distinctes et s\u00e9par\u00e9es par un c\u00f4ne, dont les g\u00e9n\u00e9ratrices traduisent la propagation \u00e0 la vitesse C. Le groupe de Poincar\u00e9, de dimension toujours 10, peut \u00eatre interpr\u00e9t\u00e9 comme le groupe des \u00ab d\u00e9placements\u00a0\u00bb de l’espace-temps, pr\u00e9servant une distance en un sens g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9. Techniquement, le groupe de Poincar\u00e9 est une d\u00e9formation du groupe de Galil\u00e9e, avec le param\u00e8tre 1\/C. C’est sur ce groupe de Poincar\u00e9 que repose toute la physique contemporaine. Ce que nous avons dit de l’application \u00e0 la m\u00e9canique classique du calcul des variations s’applique \u00e0 la m\u00e9canique relativiste sans modifications, et en particulier les apparences causalistes ou finalistes de la th\u00e9orie.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Une seule pr\u00e9cision \u00e0 peine technique : aucune interaction ne peut se propager \u00e0 une vitesse sup\u00e9rieure \u00e0 C et il ne saurait y avoir, comme chez Newton, d’action instantan\u00e9e \u00e0 distance. Deux \u00e9v\u00e9nements (points de l’espace-temps) ne peuvent r\u00e9agir l’un sur l’autre si la direction qui les joint est spatiale. Toutes les th\u00e9ories particuli\u00e8res sont astreintes \u00e0 cette condition de non-interaction spatiale et c’est cette condition qu’on nomme en relativit\u00e9 condition de causalit\u00e9 : on peut dire qu’\u00e0 la lettre deux \u00e9v\u00e9nements spatialement reli\u00e9s ne peuvent que s’ignorer. Dans le contexte relativiste, l’\u00e9pith\u00e8te causal re\u00e7oit aussi un sens pr\u00e9cis et particulier.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Il convenait donc de substituer \u00e0 la th\u00e9orie newtonienne de la gravitation une th\u00e9orie relativiste, donc \u00ab causale\u00a0\u00bb de la gravitation. Ce fut le but de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, assez mal nomm\u00e9e comme nous le verrons. C’est effectivement d’une th\u00e9orie relativiste de la gravitation qu’il s’agit, th\u00e9orie qui fut d\u00e9velopp\u00e9e \u00e0 partir de 1915 par Einstein.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Il convient de ne pas sous-estimer les difficult\u00e9s de l’entreprise : la th\u00e9orie newtonienne de la gravitation apparaissait comme la th\u00e9orie scientifique qui, \u00e0 travers la m\u00e9canique c\u00e9leste, se trouvait v\u00e9rifi\u00e9e \u00e0 la plus haute approximation. Si la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte est n\u00e9e de 1905 \u00e0 1907 des mains de Lorentz, Einstein et Minkowski, sans doute le plus grand m\u00e9rite d’Einstein fut d’oser affronter, avec un courage et une imagination in\u00e9gal\u00e9s, ce monument qu’\u00e9tait la th\u00e9orie de la gravitation universelle de Newton et ce, pour des raisons de coh\u00e9rence. Les d\u00e9viations observationnelles, par rapport \u00e0 Newton, ne pouvaient \u00eatre que minuscules et l’investissement intellectuel n\u00e9cessaire fort important. Aid\u00e9 par les travaux des grands g\u00e9om\u00e8tres diff\u00e9rentiels italiens Ricci et Levi-Civita (1900) et les applications d\u00e9velopp\u00e9es par eux \u00e0 la m\u00e9canique classique, Einstein r\u00e9ussit \u00e0 surmonter le d\u00e9fi. Pour voir \u00e0 quel type d’explication de la gravitation Einstein est parvenu, qu’on me permette d’utiliser une analogie assez fid\u00e8le, sugg\u00e9r\u00e9e par Einstein lui-m\u00eame. Supposons que la Terre soit plate, effectivement semblable \u00e0 une carte planisph\u00e8re et observons les trajectoires des bateaux ou avions reliant \u00e0 travers l’Atlantique par exemple Londres \u00e0 New York; en reportant leurs positions successives sur la carte plane, on constate que ces trajectoires sont fortement courb\u00e9es dans la direction du Nord. Une constatation sym\u00e9trique aurait lieu par exemple dans le Pacifique sud et l’on pourrait \u00e9noncer cette loi : les directions nord ou sud exercent sur les avions une attraction instantan\u00e9e \u00e0 distance qui les fait d\u00e9vier et que l’on pourrait chiffrer. Tel est le type d’explication que Newton donne de la gravitation. Mais un jour on prend conscience que la Terre est en fait courbe et que, sur cette Terre courbe, les avions suivent en fait le plus court chemin, ou g\u00e9od\u00e9sique, pour aller de Londres \u00e0 New York par exemple. Tel est le type d’explication einsteinienne.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Mais il y a plus : le ph\u00e9nom\u00e8ne fondamental de la gravitation est l’interd\u00e9pendance des mouvements des masses mat\u00e9rielles. Pour d\u00e9crire cette interd\u00e9pendance, Newton s’adresse au jeu des forces attractives et obtient effectivement une description d’une admirable pr\u00e9cision. Pour d\u00e9crire cette interd\u00e9pendance, Einstein, lui, abolit le jeu des forces et \u00e9crit des \u00e9quations de champ, venues d’un principe vatriationnel, qui signifient que ce sont les masses elles-m\u00eames (ou plus g\u00e9n\u00e9ralement les distributions d’\u00e9nergie) qui courbent l’espace-temps, qui sont sources de courbure, chaque masse engrenant son propre champ de gravitation sur un champ ext\u00e9rieur de gravitation commun. C’est cet engrenage, le raccordement n\u00e9cessaire qui cr\u00e9e l’interd\u00e9pendance des mouvements des masses. Malgr\u00e9 cette conception enti\u00e8rement diff\u00e9rente, la th\u00e9orie rend justice \u00e0 l’approche newtonienne, explique le pourquoi de ses extraordinaires succ\u00e8s et raffine \u00e0 peine les pr\u00e9visions observationnelles, \u00e0 l’\u00e9chelle de la m\u00e9canique c\u00e9leste.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Qu’on me permette de citer ici Elie Cartan qui contribua fortement \u00e0 l’expansion de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale et fut, dans ce domaine, le plus perspicace des scientifiques. Il \u00e9crivait en 1931 : \u00ab L’hypoth\u00e8se fondamentale de la th\u00e9orie d’Einstein est non pas, comme beaucoup de personnes l’ont cru, qu’il est possible de formuler les lois de la physique dans tout syst\u00e8me arbitraire de coordonn\u00e9es, ce qui serait une simple tautologie, mais que, dans toute r\u00e9gion suffisamment petite de l’espace-temps, les lois de la relativit\u00e9 restreinte sont vraies en premi\u00e8re approximation, par rapport \u00e0 la courbure.\u00a0\u00bb<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

A cause de cela le groupe de Poincar\u00e9 a continu\u00e9 \u00e0 jouer son r\u00f4le fondamental. La th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale rend ainsi justice \u00e0 la relativit\u00e9 restreinte qui reste valable au voisinage de chaque point de l’espace-temps. Elle donne une th\u00e9orie \u00ab causale\u00a0\u00bb du champ gravitationnel qui, au m\u00eame titre que le champ \u00e9lectromagn\u00e9tique, se propage par ondes \u00e0 la vitesse C. Les fronts d’onde gravitationnels sont g\u00e9om\u00e9triquement identiques aux fronts d’onde \u00e9lectromagn\u00e9tiques, les rayons gravitationnels co\u00efncidant avec les rayons \u00e9lectromagn\u00e9tiques sous la forme de \u00ab g\u00e9od\u00e9siques\u00a0\u00bb de l’espace-temps, tangentes en chaque point au c\u00f4ne d\u00e9finissant la s\u00e9paration entre spatial et temporel. Les \u00e9quations d’Einstein elles-m\u00eames d\u00e9rivent d’un principe variationnel correspondant \u00e0 un lagrangien qui n’est autre, dans le vide, que la courbure (scalaire) de l’espace-temps lui-m\u00eame.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

On voit que, si la relativit\u00e9 a introduit une r\u00e9volution n\u00e9cessaire dans nos conceptions de l’espace et du temps, elle se moule cependant dans le cadre g\u00e9n\u00e9ral, que nous avons d\u00e9crit, concernant les th\u00e9ories physiques.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

M\u00c9CANIQUE QUANTIQUE<\/b><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La pr\u00e9histoire de la m\u00e9canique quantique est constitu\u00e9e par une hypoth\u00e8se de Planck relative \u00e0 la th\u00e9orie du rayonnement et visant \u00e0 mettre fin \u00e0 une contradiction apparue, par l’apport remarquable d’Einstein (1905) concernant l’effet photo-\u00e9lectrique et par les travaux de Bohr s’effor\u00e7ant de d\u00e9crire les ph\u00e9nom\u00e8nes observ\u00e9s \u00e0 l’\u00e9chelle atomique au moyen d’un mod\u00e8le de l’atome du type du syst\u00e8me solaire, \u00e0 \u00e9nergie discr\u00e9tis\u00e9e. Ce mod\u00e8le certainement scientifiquement insoutenable est encore dou\u00e9 d’un grand pouvoir heuristique pour les physiciens exp\u00e9rimentaux ; ce fut ce qu’on a nomm\u00e9 \u00ab la premi\u00e8re m\u00e9canique quantique\u00a0\u00bb.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La base exp\u00e9rimentale de la m\u00e9canique quantique, elle-m\u00eame n\u00e9e de Louis de Broglie, Heisenberg, Schr\u00f6dinger, est constitu\u00e9e par la spectroscopie : les atomes \u00e9mettent ou absorbent de l’\u00e9nergie sous forme de rayonnement \u00e9lectromagn\u00e9tique, dans des fr\u00e9quences privil\u00e9gi\u00e9es qui les caract\u00e9risent et qui pr\u00e9sentent certaines r\u00e9gularit\u00e9s. Comment expliquer th\u00e9oriquement ces ph\u00e9nom\u00e8nes et ces r\u00e9gularit\u00e9s? D’autre part la radioactivit\u00e9 \u00e9tait apparue et demeurait d\u00e9pourvue de th\u00e9orie.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Depuis longtemps, la physique math\u00e9matique disposait d’une th\u00e9orie des vibrations ou fr\u00e9quences (valeurs propres) donnant naissance, dans les domaines m\u00e9canique ou acoustique, \u00e0 des ensembles de fr\u00e9quences ou spectres. Plus g\u00e9n\u00e9ralement \u00e9tait apparue une th\u00e9orie des valeurs propres des matrices (ou des op\u00e9rateurs) qui fut mise en \u0153uvre pour expliquer le spectre des atomes pr\u00e9cis\u00e9ment par Heisenberg et Schr\u00f6dinger. Il appartenait \u00e0 Dirac et \u00e0 son \u0153uvre g\u00e9niale compl\u00e9t\u00e9e par Pauli de provoquer l’\u00e9mergence de la puissante synth\u00e8se que constitue la m\u00e9canique quantique, elle-m\u00eame relativiste ou non.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La m\u00e9canique quantique au sens large, c’est-\u00e0-dire y compris la th\u00e9orie quantique des champs, pr\u00e9sente actuellement ce double et curieux caract\u00e8re d’\u00eatre fond\u00e9e sur des concepts math\u00e9matiques et d’\u00eatre en m\u00eame temps largement incoh\u00e9rente du point de vue math\u00e9matique. Si les diff\u00e9rents champs ou particules (en fait ce que nous nommons particule doit \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme un champ) sont, nous le savons, li\u00e9s \u00e0 des constructions alg\u00e9briques simples relatives \u00e0 ces diff\u00e9rents groupes, et en particulier d’une mani\u00e8re essentielle, au groupe de Poincar\u00e9, nous ignorons encore beaucoup de choses et nous sommes incapables d’\u00e9laborer un cadre math\u00e9matique vraiment coh\u00e9rent pour d\u00e9crire les ph\u00e9nom\u00e8nes. Notre approche th\u00e9orique est certainement encore provisoire. Mais cette th\u00e9orie nous a fourni un tel facteur d’intelligence et de contr\u00f4le du monde microscopique qu’elle appara\u00eet \u00e0 la fois comme la th\u00e9orie physique la plus fondamentale et la plus insatisfaisante. Diff\u00e9rentes pr\u00e9sentations, plus ou moins \u00e9quivalentes, de la m\u00e9canique quantique au sens large, ont \u00e9t\u00e9 donn\u00e9es, dont peu parlent \u00e0 notre imagination. Mais de ce peu d’imagination m\u00eame, il nous faut nous m\u00e9fier extr\u00eamement, parce qu’il porte en lui des images humaines, trop humaines. C’est peut-\u00eatre en termes de d\u00e9formations qu’on peut pr\u00e9senter cette m\u00e9canique sans la mutiler.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Partons de la m\u00e9canique classique d’un syst\u00e8me de particules. Il est commode de donner de la \u00ab g\u00e9om\u00e9trie dynamique\u00a0\u00bb d’un tel syst\u00e8me une description, qui remonte \u00e0 Hamilton ou m\u00eame \u00e0 Lagrange (vers 1790), en termes d’espace de phase : un \u00e9tat du syst\u00e8me envisag\u00e9 est d\u00e9crit par l’ensemble des positions et des quantit\u00e9s de mouvement (vitesses pond\u00e9r\u00e9es par les masses, dites encore impulsions ou moments) des diff\u00e9rentes particules, c’est-\u00e0-dire par un point dans un \u00ab espace\u00a0\u00bb plus ou moins abstrait, de dimension paire, qui est pr\u00e9cis\u00e9ment l’espace de phase du syst\u00e8me. Dans la pens\u00e9e physique contemporaine, nous devons distinguer \u00e9tats du syst\u00e8me et observables, qui d\u00e9crivent les grandeurs physiques dont nous pouvons effectuer la mesure dans les diff\u00e9rents \u00e9tats. L’observable fondamental est donn\u00e9 ici par la fonction \u00e9nergie H (en l’honneur d’Hamilton) sur l’espace de phase. C’est sa donn\u00e9e qui d\u00e9termine \u00e0 elle seule la dynamique du syst\u00e8me classique. Dans ce cadre, les autres \u00ab observable\u00a0\u00bb ne sont rien d’autre que des fonctions sur l’espace de phase.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Ces observables se multiplient trivialement de mani\u00e8re associative et commutative (produit usuel de fonctions). Mais il existe entre eux une autre loi de composition importante, anticommutative, dont la mise en \u00e9vidence remonte \u00e0 Poisson ; c’est le crochet de Poisson qui ne d\u00e9pend que de la structure g\u00e9om\u00e9trique naturelle de l’espace de phase et qui est l’analogue infinit\u00e9simal d’une structure de groupe. L’\u00e9volution dans le temps d’un observable est donn\u00e9e par le crochet de Poisson de cet observable par l’\u00e9nergie H. Cette loi traduit toute la dynamique classique et est, en particulier, la traduction directe des c\u00e9l\u00e8bres \u00e9quations de Hamilton.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

On peut se demander ce qui arrive si l’on d\u00e9forme de mani\u00e8re coh\u00e9rente, en fonction d’un param\u00e8tre, les deux lois de composition existant entre les observables (produit usuel en un produit toujours associatif, mais non commutatif crochet de Poisson en un autre crochet ayant des propri\u00e9t\u00e9s semblables). Le r\u00e9sultat est surprenant ; on obtient ainsi une autre dynamique coh\u00e9rente, radicalement distincte, et celle-ci n’est autre, pour un choix convenable du param\u00e8tre, qu’un cas simple de la dynamique quantique g\u00e9n\u00e9rale. Le param\u00e8tre de d\u00e9formation re\u00e7oit alors une valeur directement donn\u00e9e par la c\u00e9l\u00e8bre constante de Planck; celle-ci (de dimension identique \u00e0 celle d’une action) \u00e9tait intervenue de mani\u00e8re ad hoc, d\u00e8s les premiers travaux sur le rayonnement, pour discr\u00e9tiser ou quantifier l’\u00e9nergie. Ce point de vue, introduit d\u00e8s 1932 par Wigner et H. Weyl dans un contexte profond\u00e9ment diff\u00e9rent, se laisse largement g\u00e9n\u00e9raliser et inspire de nos jours nombre de th\u00e9ories importantes.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Les observables du syst\u00e8me sont toujours d\u00e9crits ici par des fonctions sur l’espace des phases, se composant selon une loi associative, non commutative, et ils ob\u00e9issent \u00e0 une \u00e9quation dynamique qui est la d\u00e9form\u00e9e de celle de la dynamique classique. Mais les \u00e9tats doivent \u00eatre d\u00e9crits maintenant par une fonction g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e sur l’espace de phase, fonction qui joue le r\u00f4le d’une probabilit\u00e9 sans en \u00eatre une. C’est la fonction d’\u00e9tat. En m\u00e9canique classique une telle fonction existe, mais n’est alors diff\u00e9rente de 0 qu’en un point de l’espace de phase, qui est pr\u00e9cis\u00e9ment ce que nous avons appel\u00e9 \u00e9tat, les deux points de vue \u00e9tant \u00e9quivalents.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Que peut nous donner, dans notre nouveau contexte, une mesure exp\u00e9rimentale? Une seule chose, la valeur d’attente \u00e0 un instant d’un observable pour un \u00e9tat, valeur qui n’est autre que l’int\u00e9grale sur l’espace de phase du produit de l’observable par la fonction \u00e9tat. Seule une telle valeur peut \u00eatre l’objet d’une mesure. Mais, d\u00e8s que le param\u00e8tre de d\u00e9formation appara\u00eet, la fonction d’\u00e9tat est, en vertu de ses propri\u00e9t\u00e9s m\u00eames, diff\u00e9rente de 0 sur un domaine de dimension au moins \u00e9gale \u00e0 (h\/2)<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/sup><\/span> sur l’espace de phase. Telle est la formulation, dans ce contexte, de la relation d’incertitude d’Heisenberg. En \u00e9tudiant la mesure des observables position et impulsion on retrouve la forme usuelle.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Position et impulsion apparaissent, dans leur mesure, comme inextricablement m\u00eal\u00e9es, un peu comme en relativit\u00e9, temps et espace se m\u00e9langent n\u00e9cessairement dans un changement de rep\u00e8res. Il n’est pas d’\u00e9tat pour lequel des mesures parfaites simultan\u00e9es de la position et de l’impulsion d’une particule \u00e0 un instant donn\u00e9 peuvent \u00eatre effectu\u00e9es. Or ce sont seulement les mesures qui nous sont accessibles. Il convient d’insister sur le fait que ce que le physicien contemporain nomme particule en m\u00e9canique quantique n’a aucun rapport avec notre intuition d’un petit fragment localis\u00e9 de mati\u00e8re ou d’\u00e9nergie; les \u00eatres physiques fondamentaux sur lesquels nous raisonnons sont en v\u00e9rit\u00e9 des champs, plus ou moins largement modul\u00e9s dans l’espace-temps. Il n’y a pas de paradoxes d\u00e9rivant des th\u00e9ories ou des exp\u00e9riences quotidiennement v\u00e9rifi\u00e9es du domaine quantique. Seuls certains modes de pens\u00e9e trop familiers concernant la localisation d’un photon ou la possibilit\u00e9 de fractionner un champ \u00e9lectromagn\u00e9tique en deux ou plusieurs photons se r\u00e9v\u00e8lent compl\u00e8tement inad\u00e9quats et peuvent entra\u00eener des apparences de paradoxes.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Ainsi la physique nous offre-t-elle une conception du monde, b\u00e2tie laborieusement au cours de son histoire, partielle certes mais qu’il est devenu impossible \u00e0 l’esprit des hommes de refuser globalement, sauf en la d\u00e9passant. L’infiniment grand comme l’infiniment petit \u00e0 l’\u00e9chelle humaine sont devenus objets de science et, dans le domaine de la science, il n’est plus de m\u00e9taphysique, mais seulement une \u00e9pist\u00e9mologie qu’il est impossible de fixer une fois pour toutes.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Cette science est, comme nous le disons parfois, \u00ab bien commun de l’humanit\u00e9\u00a0\u00bb et elle fait face, dans son unit\u00e9, \u00e0 la diversit\u00e9 des cultures. Le probl\u00e8me de la pr\u00e9servation n\u00e9cessaire face \u00e0 la science, de ce qu’il y a de plus fondamental dans la vie des cultures est peut-\u00eatre devenu le premier enjeu de notre temps.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

(Extrait du livre collectif\u00a0: Les scientifiques parlent, dirig\u00e9 par Albert Jacquard. Hachette 1987) Andr\u00e9 Lichnerowicz (1915-1998) est un math\u00e9maticien fran\u00e7ais Le plus grand enjeu politique de notre science est sans doute l’unification de l’humanit\u00e9 \u00e0 travers une aventure commune. 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