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G. IFRAH – D’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, les Orientaux ont beaucoup contribu\u00e9 \u00e0 l’essor des sciences ; aussi ont-ils \u00e9t\u00e9 tr\u00e8s t\u00f4t amen\u00e9s \u00e0 d\u00e9velopper un outil math\u00e9matique pratique. On retrouve ainsi leur influence au niveau des nombres : toutes les grandes civilisations orientales (Egyptiens, Babyloniens, Chinois, Indiens) ont \u00e9labor\u00e9 un syst\u00e8me de num\u00e9ration original \u2014 Certes, ces syst\u00e8mes n’ont pas tous atteint le m\u00eame degr\u00e9 de perfection \u2014 La num\u00e9ration \u00e9gyptienne, par exemple, comptait m\u00eame parmi les plus rudimentaires. Dans ce syst\u00e8me, de base d\u00e9cimale, chaque ordre d’unit\u00e9 \u00e9tait symbolis\u00e9 par un signe sp\u00e9cifique que l’on r\u00e9p\u00e9tait le nombre de fois requis. On lisait le nombre obtenu en additionnant mentalement les valeurs des diff\u00e9rents symboles. Cette num\u00e9ration \u00e9tait de type additif, le plus primitif, mais aussi le plus repr\u00e9sent\u00e9 dans l’Antiquit\u00e9. Les Romains par exemple, qui n’ont jamais \u00e9t\u00e9 de brillants math\u00e9maticiens, utilisaient une num\u00e9ration analogue lorsqu’ils transcrivaient le nombre cent trente-deux par \u00ab CXXXII \u00bb soit \u00ab Cent plus dix, plus dix, plus dix, plus un, plus un \u00bb. Ainsi les num\u00e9rations additives pr\u00e9sentaient les deux inconv\u00e9nients d’exiger d’une part autant de signes diff\u00e9rents que le nombre \u00e0 transcrire poss\u00e8de de rangs d’unit\u00e9 ; et d’autre part une r\u00e9p\u00e9tition fastidieuse de ces signes. D’o\u00f9 leurs capacit\u00e9s tr\u00e8s limit\u00e9es.<\/p>\n
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Or c’est justement un autre peuple oriental, les Babyloniens, qui a lev\u00e9 le premier inconv\u00e9nient. Les scribes de M\u00e9sopotamie ont d\u00fb pour cela inventer un type de num\u00e9ration radicalement diff\u00e9rent du pr\u00e9c\u00e9dent : le type positionnel. Dans les num\u00e9rations de position, les chiffres ont une valeur qui varie en fonction de la position qu’ils occupent dans la transcription des nombres. Ainsi le signe 4 n’a pas le m\u00eame sens dans les nombres 41 et 14 o\u00f9 il indique le nombre des dizaines dans le premier et celui des unit\u00e9s dans le second (on remarque au passage que notre num\u00e9ration moderne rel\u00e8ve de ce m\u00eame principe \u00e9labor\u00e9 sur les rives de l’Euphrate au XVIIe<\/sup> si\u00e8cle avant notre \u00e8re…). Cette premi\u00e8re num\u00e9ration de position de l’Histoire reposait sur la base sexag\u00e9simale (base soixante) dont nous avons d’ailleurs h\u00e9rit\u00e9 pour la mesure du temps (en heures, minutes, secondes), ou des angles (en degr\u00e9s, minutes, secondes). Pour les Babyloniens, la notation \u00ab 1 ; 2 ; 6 \u00bb (\u00e9videmment transcrite dans leur propre \u00e9criture) signifiait donc 1 x 602<\/sup> + 2 x 60 + 6, et non pas 1 + 2 + 6 comme dans les syst\u00e8mes additifs. Une \u00e9tape capitale est donc franchie avec l’invention des num\u00e9rations positionnelles : celles-ci permettent d\u00e9sormais, \u00e0 l’aide d’un nombre restreint de signes, de noter simplement et rationnellement n’importe quel nombre, aussi grand soit-il. Ainsi pour \u00e9crire neuf cents en base dix, il suffit de prendre le chiffre 9 et de le d\u00e9caler de deux positions ou ordres d’unit\u00e9. Ceci est absolument impossible dans un syst\u00e8me additif, o\u00f9 chaque chiffre symbolise une valeur d\u00e9finitive. D’o\u00f9 la n\u00e9cessit\u00e9 d’affecter \u00e0 chaque ordre d’unit\u00e9 un symbole distinct, ce qui encombre la m\u00e9moire sans pour autant permettre la transcription de nombres \u00e9lev\u00e9s : m\u00eame en recourant \u00e0 des conventions d’\u00e9criture, les syst\u00e8mes additifs sont toujours de capacit\u00e9 limit\u00e9e et n’ont jamais la coh\u00e9sion des num\u00e9rations positionnelles. On remarquera cependant que contrairement \u00e0 notre syst\u00e8me d\u00e9cimal actuel, le syst\u00e8me babylonien ne disposait pas d’un nombre de chiffres \u00e9gal \u00e0 la base, alors que nous nous arrangeons tr\u00e8s bien dans notre base d\u00e9cimale avec nos dix chiffres, il aurait \u00e9t\u00e9 bien peu commode de manipuler soixante signes diff\u00e9rents dans la base sexag\u00e9simale\u00a0! Pour compter entre chaque puissance de soixante, les Babyloniens recouraient \u00e0 un syst\u00e8me additif classique \u00e0 base dix utilisant deux symboles : des barres horizontales figuraient les unit\u00e9s, et des barres verticales repr\u00e9sentaient les dizaines. Les scribes m\u00e9sopotamiens juxtaposaient ces symboles exactement comme leurs homologues \u00e9gyptiens ou romains : Ainsi la graphie \n \n \n Prototypes des tables de multiplications<\/strong><\/p>\n auxquelles les math\u00e9maticiens babyloniens<\/strong><\/p>\n et susiens avaient recours (ci-dessus)<\/strong><\/p>\n \n Si l’on estime d’apr\u00e8s les fouilles les plus r\u00e9centes que le syst\u00e8me babylonien \u00e9tait parfaitement au point vers \u2014 2000\/ \u2014 1800 avant J.-C., on sait aussi que les Babyloniens n’avaient pas encore invent\u00e9 le z\u00e9ro \u00e0 cette \u00e9poque : ils se contentaient de laisser un blanc plus ou moins grand pour symboliser un ordre d’unit\u00e9 vide. Aussi consciencieux que f\u00fbt le scribe, la confusion devenait in\u00e9vitable d\u00e8s lors qu’il fallait laisser deux ou trois blancs de suite pour figurer deux ou trois z\u00e9ros successifs… De m\u00eame la symbolisation de l’absence d’unit\u00e9 en fin de nombre posait probl\u00e8me : par exemple on transcrivait identiquement les nombres 1 x 60, 1 x 60, 1 de la m\u00eame fa\u00e7on que dans notre syst\u00e8me d\u00e9cimal nous noterions indiff\u00e9remment par \u00ab 1 \u00bb les nombres 100, 10, et 1 si nous ne disposions pas du z\u00e9ro.<\/p>\n \n C’est pour r\u00e9soudre ces probl\u00e8mes que les scribes babyloniens ont finalement remplac\u00e9 les blancs par un signe que l’on pouvait r\u00e9p\u00e9ter clairement. Or c’est bien cette repr\u00e9sentation concr\u00e8te de l’id\u00e9e abstraite d’absence, de vide, qui constitue l’invention du z\u00e9ro. Le z\u00e9ro fait ainsi son apparition vers 500 avant J.-C.: sa concr\u00e9tisation aura exig\u00e9 pr\u00e8s de quinze si\u00e8cles…<\/p>\n \n MILLESIME – Les Babyloniens ont eu une grande importance dans la mise en place de syst\u00e8mes de num\u00e9ration \u2014 Qu’en est-il des apports des Chinois\u00a0?<\/strong><\/p>\n \n G. IFRAH – Comme les Babyloniens, les Chinois ont au d\u00e9but de notre \u00e8re invent\u00e9 une num\u00e9ration de position, d\u00e9cimale celle-ci. Mais ils n’ont jamais d\u00e9couvert le z\u00e9ro, qui leur a \u00e9t\u00e9 transmis par des missionnaires bouddhistes indiens vers le 8e<\/sup> si\u00e8cle. Comme dans le syst\u00e8me m\u00e9sopotamien, les Chinois comptaient additivement entre les puissances de la base, car ils ne disposaient pas comme nous de dix chiffres distincts. Leur unique symbole, repr\u00e9sentant l’unit\u00e9, \u00e9tait une barre. On passait d’un rang d’unit\u00e9 au suivant en changeant l’orientation des barres : \u00ab II \n \n \u00c9criture des nombres compos\u00e9s dans le syst\u00e8me des barres num\u00e9rales chinoises<\/strong><\/p>\n \n <\/strong><\/p>\n MILLESIME – Nous venons de voir que les Egyptiens et les Chinois comptaient en base d\u00e9cimale. De m\u00eame les Grecs, les Romains, les Indiens et… nous-m\u00eames. Pourquoi cette base a-t-elle \u00e9t\u00e9 si fr\u00e9quemment choisie ?<\/strong><\/p>\n \n G. IFRAH – Les bases de num\u00e9ration employ\u00e9es n’ont pas \u00e9t\u00e9 \u00e0 proprement parler choisies, mais devaient plut\u00f4t r\u00e9pondre \u00e0 des imp\u00e9ratifs essentiellement pratiques : si l’homme a presque toujours utilis\u00e9 la base dix, c’est qu’il s’est principalement servi d’un instrument tr\u00e8s commode : ses doigts. Cette explication par la morphologie humaine est la plus couramment admise : on pense m\u00eame que les Mayas comptaient en base vingt parce qu’ils utilisaient \u00e9galement leurs orteils\u00a0!<\/p>\n \n MILLESIME – Alors pourquoi une base aussi peu commode que la base soixante ?<\/strong><\/p>\n \n G. IFRAH – La base sexag\u00e9simale serait n\u00e9e de la conjonction des bases cinq et douze utilis\u00e9es par deux peuples anc\u00eatres des Babyloniens ; 60 \u00e9tant le plus petit commun multiple de 5 et de 12. La base 5 correspond naturellement \u00e0 l’usage des 5 doigts de la main ; quant \u00e0 a base 12, elle r\u00e9sulterait d’une m\u00e9thode de comptage \u00e0 partir des quatre fois trois phalanges des quatre premiers doigts d\u00e9nombr\u00e9es par le seul doigt opposable qu’est le pouce…<\/p>\n \n MILLESIME – Comment le syst\u00e8me de num\u00e9ration moderne s’est-il mis en place ?<\/strong><\/p>\n \n G. IFRAH – Ce syst\u00e8me est le plus r\u00e9cent : il est apparu en Inde vers le 5e<\/sup> si\u00e8cle apr\u00e8s J.-C. C’est aussi le syst\u00e8me le plus \u00e9volu\u00e9 car il permet pour la premi\u00e8re fois de calculer rationnellement et rapidement. Il r\u00e9unit pour cela trois \u00e9l\u00e9ments indispensables : premi\u00e8rement, le caract\u00e8re positionnel (n\u00e9cessaire, on l’a vu, pour noter simplement les nombres \u00e9lev\u00e9s) ; deuxi\u00e8mement, l’existence du z\u00e9ro (qui l\u00e8ve toute ambigu\u00eft\u00e9 dans la transcription d’un ou plusieurs ordres d’unit\u00e9 vides) ; et enfin, innovation d\u00e9cisive, le fait que chaque chiffre (ou nombre inf\u00e9rieur \u00e0 la base) soit un signe sp\u00e9cifique qui se suffise \u00e0 lui-m\u00eame, au lieu d’\u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 par un nombre de barres ou de clous qu’il faut additionner mentalement pour lire le nombre. C’est donc aux Indiens que revient l’invention de nos \u00ab chiffres arabes \u00bb [1]<\/a> que nous manipulons quotidiennement sans jamais songer qu’ils cachent sous leur simplicit\u00e9 un tel degr\u00e9 de perfection…<\/p>\n \n \n \n![\"\"](\"http:\/\/www.revue3emillenaire.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2011\/04\/ifrah1.jpg\" "\\"ifrah1\\"")
<\/a> II = IIII se lisait (dix plus dix, plus dix, plus un, plus un) x 60 + (dix plus dix, plus un, plus un, plus un, plus un). Les \u00ab barres \u00bb sont appel\u00e9es clous en raison de leur graphisme impos\u00e9 par les techniques d’\u00e9criture de l’\u00e9poque qui employaient des stylets \u00e0 pointe s\u00e8che entaillant une plaque d’argile cuite ensuite pour conservation (\u00e9criture cun\u00e9iforme).<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a> IIII \u00bb signifiait donc (1 plus 1) x 102<\/sup> + (1 + 1 + 1) x 10 + (1 + 1 + 1 + 1). Les num\u00e9rations chinoises et babyloniennes \u00e9taient donc composites puisque coexistaient en quelque sorte les syst\u00e8mes positionnel et additif : \u00e0 l’int\u00e9rieur d’un m\u00eame ordre d’unit\u00e9, il fallait visuellement additionner les barres chinoises ou les clous babyloniens pour obtenir le nombre de milliers, puis de centaines, etc… Tout calcul direct \u00e9tait d\u00e8s lors impossible et il fallait syst\u00e9matiquement recourir au boulier. Ainsi les Chinois et les Babyloniens n’ont pas su pleinement tirer parti de leurs invention. Ce sont les Indiens, un autre peuple occidental, qui franchiront l’\u00e9tape ultime en d\u00e9barrassant totalement les num\u00e9rations positionnelles des reliquats de syst\u00e8me additif.<\/p>\n<\/a><\/p>\n