Traduction libre
24/12/2023
Une brève introduction
Né en 1948, Yaakov (Jacob) Lichter vit avec son épouse dans le village de Yuvallim, en Galilée, en Israël. Ils ont cinq enfants et neuf petits-enfants. Yaakov a une formation et une expérience en physique (R et D dans divers domaines), en administration et gestion d’entreprise, en entrepreneuriat dans le domaine de la haute technologie et en philosophie. Il est l’auteur de trois livres : « Apples, Stars and Healing Ghosts: Thoughts about Knowing », 2018, Gvanim Publishing House (en hébreu); « Yuvallim : The Story of a Breakthrough », 2019, Magen Publishers (en hébreu) ; et « Life & Theories: Encounters of the Third Kind », 2023, Niv Books (en anglais).
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Dans l’esprit de l’appel de Newton à construire plus de ponts plutôt qu’à ériger plus de murs, une analogie est suggérée ici entre le stratagème de la preuve des théorèmes d’incomplétude de Gödel et les modes de comportement qui permettent aux animaux dans la nature de ne faire qu’un avec la nature tout en diffusant leurs intentions et en signalant leur statut. Je suggère que l’intuition intellectuelle la plus fondamentale de Gödel — qui réside dans le monde de la pensée humaine — correspond à ce que les animaux possèdent naturellement.
Le langage utilisé dans ce qui suit est destiné à être accessible aux non-mathématiciens et à fournir une introduction préliminaire au travail révolutionnaire et profond de Gödel.
Sensations directes et langage
Simone de Beauvoir proclamait que « l’homme est l’animal qui parle ». Nous ne connaissons aucun autre animal qui utilise des symboles abstraits — tels que des lettres écrites et des syllabes parlées — comme moyen de communication, sur lesquels les membres de l’espèce se sont délibérément mis d’accord. Il serait absurde de penser qu’une autre créature vivante utilise des mots abstraits tels qu’esprit, conscience, justice, bonheur, chagrin, etc. À cet égard, l’homme est une espèce unique. Le docteur Doolittle, qui aurait conversé avec des animaux en utilisant des concepts humains, n’a existé que dans les livres de fiction de Hugh Lofting. Étant nous-mêmes des créatures parlantes et pensantes, lorsque nous lisons les livres de Lofting, les animaux parlants du Dr Dolittle deviennent une sorte de réalité pour nous, mais une réalité dans notre esprit.
Les symboles abstraits se combinent dans des formulations linguistiques — telles que des mots, des phrases, des formules, etc. — pour finalement créer pour nous, les humains, des histoires de différents types, allant de listes d’étiquettes et de simples témoignages à des légendes, des récits, des romans et des théories. Ces symboles abstraits — qu’ils soient écrits ou parlés — ne signifient rien pour aucune autre créature vivante.
Un bébé humain naît dépourvu de langage. Cependant, le potentiel de comprendre le langage et de l’utiliser est inné chez lui. Les bébés commencent à intérioriser le langage dès qu’ils l’entendent pour la première fois. Ce processus plutôt énigmatique, voire mystificateur, a une influence profonde ; il crée notre cadre de pensée. Les êtres humains sont très introspectifs : ils réfléchissent sur eux-mêmes, sur leurs expériences et sur leur existence même. Le langage nous permet de traiter tout cela de manière cohérente, créant ainsi l’une des deux sources de notre connaissance.
En effet, deux expériences humaines essentiellement différentes alimentent, augmentent et soutiennent la connaissance humaine. La première est notre expérience sensorielle naturelle, innée, directe et sans intermédiaire, qui est naturellement « gravée » dans notre conscience, comme pour tout autre animal. Cette source n’est pas conditionnée par la connaissance d’un langage ou des produits du langage, tels que les contes, les récits ou les théories. L’autre source émane de notre expérience linguistique, qui consiste à nous familiariser avec un nombre toujours croissant de mots, de noms, d’énoncés, etc.
Søren Kierkegaard a parlé du changement exceptionnel qui se produit dans l’esprit d’une personne lorsque, pour la première fois, le fait que tout dans sa vie dépend de sa façon de penser envahit sa conscience, lorsqu’elle comprend que l’absolu de la pensée — qui découle de la définition absolue du langage — prend la place de la prétendue réalité.
Deux réalités essentiellement différentes — l’une provenant de nos expériences sensorielles directes et l’autre de nos expériences de pensée langagière — se rencontrent et interagissent dans notre conscience d’une manière très compliquée, complexe et, en fait, mystérieusement enchevêtrée. Cette interaction est à l’origine de formidables capacités humaines, dont les qualités sont inégalées par toute autre créature vivante. Ces capacités créatives inégalées vont des œuvres artistiques, littéraires et scientifiques profondes aux actes horribles de meurtre et de destruction.
L’une des plus brillantes réalisations humaines de tous les temps est l’analyse par Kurt Gödel des fondements et de la structure des mathématiques en tant que langage formel, ainsi que de leurs propriétés. Gödel a publié son travail révolutionnaire en 1931, changeant ainsi à jamais non seulement les croyances populaires répandues sur les mathématiques, mais brisant également pour de bon ce que les mathématiciens et logiciens les plus éminents du monde pensaient de ces dernières.
Le génie logique exceptionnel de Gödel est abordé dans une pléthore de livres, d’articles, d’essais, de conférences, de films et de clips vidéo. Cependant, la plupart d’entre eux ont peut-être négligé quelque chose d’unique. En comparant le stratagème le plus fondamental de Gödel — sans lequel l’ensemble de son travail n’aurait pas été possible — à la manière dont les animaux s’entendent et « communiquent » dans la nature, on peut établir un parallèle intéressant et plutôt instructif.
Métathéories
Lorsqu’Aristote rédigea ses enseignements sur la nature — qu’il appela « phusika » (??????, en grec) — il s’est rendu compte qu’il lui était impossible d’expliquer les causes et les effets concrets de la nature, tel qu’ils sont discernés par les sens, sans inventer des concepts abstraits indiquant des entités et des propriétés que nous ne pouvons pas percevoir directement. Pour formuler ses enseignements philosophiques sur la nature, il a dû intégrer ces abstractions comme partie intégrante de son texte. Ses disciples ont décidé de rassembler les définitions et les explications de ces termes abstraits dans une section ou un volume séparé, et de le placer juste après son enseignement de la physique. Le mot « après » en grec est ???? (prononcé « meta »), et c’est ainsi que le mot « métaphysique » a été créé. En tant que telle, la métaphysique d’une certaine théorie physique concerne l’étude, l’analyse et la description de la théorie elle-même.
Cela n’est pas exclusif à la physique et à la métaphysique. Chaque théorie peut avoir une métathéorie, qui étudie, analyse et décrit de manière critique les concepts, les symboles et les règles d’inférence de la théorie elle-même. Un cas particulier de métathéorie est la métamathématique.
Comprenant que toute théorie est finalement une histoire faite de langage, Rudolf Carnap a proposé la définition suivante pour une métathéorie : « si nous étudions, analysons et décrivons une langue L1 [et appelons cette étude L2]… la somme totale de ce que l’on peut savoir sur L1 et dire en L2 peut être appelée la métathéorie de L1 ».
Pour toute une série de considérations, qui sortent du cadre de cet essai, nous nous référerons aux mathématiques non pas comme une théorie des quantités, mais comme une théorie de symboles abstraits libres de toute interprétation, de tout programme pratique ou de toute expérience empirique.
Nous entamons maintenant un voyage qui se déroule uniquement dans le monde du langage et de la pensée humaine. Plus tard, nous contemplerons ce monde abstrait à partir d’un point de vue situé dans le monde concret des expériences sensorielles directes. Ces deux mondes constituent le contenu de la conscience humaine.
Formalité, cohérence et complétude
Historiquement, le développement de la pensée mathématique s’est toujours accompagné de l’émergence de paradoxes. L’intensité de ce processus s’est accrue au cours du 19e siècle, au point de devenir un problème fondamental pour les mathématiques et les sciences connexes. David Hilbert, chef de file de la communauté des mathématiciens et des logiciens, les a appelés à prouver que les mathématiques peuvent être à la fois une théorie formelle, cohérente et complète.
Les adjectifs « formel », « cohérent » et « complet » ne correspondent pas à ce que sont les mathématiques, que ce soit en tant que théorie des quantités ou en tant que théorie des symboles. Ils sont, au contraire, des métamathématiques.
Qu’entend-on par « théorie formelle » ? Le dictionnaire anglais Collins indique qu’il s’agit d’un « système de symboles non interprétés et de leurs combinaisons, dont la syntaxe est précisément définie, et sur lequel une relation de déductibilité est définie en termes purement syntaxiques ». En d’autres termes, la vérité ou la validité d’une telle théorie découle uniquement des règles et des lois liées à la manipulation des symboles, que la théorie considère comme légitimes. Un exemple célèbre de théorie formelle est la géométrie plane de base, formulée par Euclide il y a des milliers d’années sans référence à des dessins ou à des expériences plausibles. La théorie d’Euclide est encore aujourd’hui enseignée dans les écoles secondaires.
Il est beaucoup plus simple et apparemment plus intuitif de définir la « cohérence » : une théorie est cohérente lorsque nous croyons que son texte est exempt de contradictions (on comprendra plus tard pourquoi nous utilisons les mots « intuitif », « croire » et « sembler » dans cette définition prétendument simple).
Le troisième terme est « complète ». Nous disons qu’une théorie est « complète » si toutes ses propositions (ou formules) peuvent être prouvées comme étant vraies ou fausses sur la base des axiomes et des règles d’inférence de la théorie.
Nous voulons établir un lien entre ce qui précède et les théories mathématiques. La racine des mathématiques étant l’arithmétique, nous pouvons élargir notre champ d’intérêt à toute théorie incluant l’arithmétique. L’inclusion de l’arithmétique dans une théorie signifie simplement que la liste des symboles (alphabet) de cette théorie doit inclure les symboles des nombres naturels (), ainsi que les symboles de multiplication, d’addition et d’égalité ().
Par souci de concision, dans ce qui suit, l’acronyme FCAIT désigne une théorie formelle, cohérente, incluant l’arithmétique.
Le stratagème fondamental derrière les théorèmes d’incomplétude de Gödel
En réponse au défi lancé par Hilbert, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont publié un ouvrage monumental en trois volumes, Principia Mathematica, sur les fondements des mathématiques. Leur livre incluait leur nouvelle « théorie des types », qui émanait de leur intuition que les paradoxes n’existent que dans le monde du langage et de la pensée, leur source étant l’autoréférence, que le langage permet. Dans le contexte du langage, un énoncé autoréférentiel est un énoncé qui implique une référence à lui-même. L’ancien symbole de l’Ouroboros — un dragon qui se mange lui-même — indique l’autoréférence et illustre le paradoxe d’une chose qui se vainc elle-même.
La théorie des types de Russell et Whitehead semblait être une solution complète, exempte de propositions autoréférentielles, évitant ainsi les paradoxes qui en découlent.
Lorsque Russell et Whitehead ont publié leur livre, Kurt Gödel était un enfant. Après avoir lu leur livre peu d’années plus tard, il a eu le sentiment — grâce à son intelligence extraordinaire et à son intuition mathématique — qu’il devait être impossible de se débarrasser de l’autoréférence en mathématiques et, apparemment, dans toute FCAIT.
La brillante intelligence de Gödel l’a conduit à un profond stratagème, qui a permis la démonstration de ses théorèmes d’incomplétude révolutionnaires. Il a décidé d’adopter le point de vue philosophique de Platon selon lequel les nombres naturels devraient être considérés comme un type particulier de réalité en soi. Bien qu’ils n’appartiennent pas au type d’expérience sensorielle directe que nous acceptons intuitivement comme étant la réalité, nous devrions quand même les considérer comme « réels » dans notre monde de langage et de pensée, qui interfère sans cesse avec nos expériences sensorielles.
Gödel a donc conçu un code qui convertit tout énoncé alphabétique ou toute proposition formelle en un nombre naturel unique, et vice-versa, selon une correspondance biunivoque (un à un). Le code qu’il a proposé est très simple et repose sur les règles de l’arithmétique. Pour des raisons de brièveté, je n’entrerai pas dans les détails ici (de toute façon, il existe de nombreuses méthodes différentes pour créer un tel code, et les détails sont donc moins importants). Le point profond est la compréhension par Gödel que ce type de code est une condition nécessaire pour prouver ses théorèmes. C’est une condition nécessaire, mais pas suffisante. Il a trouvé d’autres ruses ingénieuses, qui ne sont pas mentionnées ici afin que nous puissions concentrer notre attention sur le code uniquement.
En convertissant les énoncés formels en nombres naturels de manière bijective [Note de l’éditeur : c’est-à-dire d’une manière qui garantit que chaque énoncé formel correspond à un et un seul nombre naturel, et vice-versa], il devient techniquement, ou symboliquement, possible pour nous de remplacer (a) les concepts et énoncés verbaux par des nombres et (b) les règles d’inférence par des opérations arithmétiques. Cela nous permet de passer du monde du langage verbal ordinaire, comme l’anglais, au langage formel de l’arithmétique.
Il s’agit d’un changement de support ; cela créera-t-il un nouveau message ? Apparemment, oui. Il a permis à Gödel de prouver des théorèmes révolutionnaires.
Théorèmes d’incomplétude de Gödel
Le premier théorème d’incomplétude de Gödel affirme que les FCAIT sont nécessairement incomplètes, c’est-à-dire qu’une FCAIT contient toujours des énoncés qui ne peuvent être ni prouvés ni réfutés, qui sont donc appelés « indécidables ». Les FCAIT comprennent nécessairement des énoncés indécidables.
Le second théorème, qui se prouve facilement à partir du premier, indique qu’il n’existe pas de FCAIT cohérent qui puisse prouver sa propre cohérence. C’est le dernier coup fatal porté à l’espoir de Hilbert — tel qu’il l’a exprimé dans le défi qu’il a lancé à la communauté mondiale des mathématiques et de la logique — de préserver l’image des mathématiques comme étant à la fois cohérentes et complètes.
Dans un langage encore plus simple, ce que nous pouvons dire avec une certitude mathématique, sur la base des théorèmes d’incomplétude de Gödel, à propos des concepts de complétude, de cohérence et de décidabilité pour une FCAIT arbitraire donnée est le suivant.
Complétude : chaque affirmation qui doit être vraie dans une théorie a-t-elle une preuve dans la théorie ? Non.
Cohérence : une théorie est-elle vraiment cohérente ? Peut-on être sûr qu’elle est exempte de contradictions ? Nous ne pouvons pas connaître la réponse à ces questions à partir de la théorie elle-même ; la propriété de cohérence ne peut pas être prouvée ou réfutée à l’intérieur de la théorie.
Décidabilité : existe-t-il un algorithme fini qui puisse toujours déterminer si un énoncé découle des axiomes d’une théorie ? Non.
Le royaume de Gödel et la faune
Le code de Gödel est une transformation entre deux formes humaines de description, toutes deux appartenant au monde humain du langage et de la pensée, toutes deux utilisant des symboles abstraits. L’une de ces formes est notre langage ordinaire, comme ces phrases, que nous utilisons ordinairement pour décrire le monde et y réfléchir. L’autre forme implique les concepts de nombres naturels et d’opérations arithmétiques.
Les animaux, tels que nous les comprenons, ne disposent pas d’un monde de langage conceptuel et de symboles abstraits. Ils ne peuvent pas décrire ou communiquer avec d’autres membres de leur propre espèce, ou avec d’autres animaux, de cette manière.
À l’origine, j’avais intitulé cette section « Comment les êtres vivants naturels communiquent ». Après réflexion, j’ai choisi un autre titre, comme vous pouvez le voir ci-dessus. Dans mon livre, Life & Theories : Encounters of the Third Kind, j’ai été encore plus loin en parlant des interactions animales comme des messages de la nature elle-même.
La raison pour laquelle j’ai essayé d’éviter d’utiliser le mot « communiquer » est que la communication implique généralement une forme de langage semblable à celui de l’homme, c’est-à-dire une combinaison ordonnée de symboles abstraits tels que des syllabes parlées, des lettres écrites, des formules mathématiques, des énoncés logiques formels, etc. Trop de gens pensent que nous pouvons interpréter la façon dont les animaux se comportent comme analogique avec le langage humain, mais les animaux dans la nature ne possèdent pas une telle capacité. Ils utilisent plutôt les objets de la nature elle-même, tels que les gestes corporels, le toucher, les sons, les goûts, les odeurs, voire les sécrétions corporelles, qui peuvent tous être discernés naturellement par les sens des créatures vivantes.
Par exemple, nous connaissons tous le réflexe du bâillement, qui expose les dents de l’animal fatigué, décourageant ainsi tout prédateur qui pourrait profiter de sa fatigue. Nous voyons comment la fourrure d’un chat se hérisse et son dos se courbe lorsqu’un chien l’attaque, de sorte que le chat paraît plus gros qu’il ne l’est. Un autre exemple intéressant est celui d’une procession de fourmis marchant le long d’un sentier, coordonnée par la sécrétion de diverses substances (comme les phéromones). Les fourmis exercent également un contact physique involontaire, qui suscite certaines réactions réflexes telles que l’ouverture de la bouche pour permettre à d’autres fourmis de sentir ce qu’elle contient. Elles perçoivent les sons subtils, mais pénétrants des pattes qui grattent les plis sur le côté de l’estomac d’une fourmi. Il y a aussi les goûts et les odeurs que les fourmis se transmettent les unes aux autres. Tous ces éléments sont des composantes concrètes de la réalité sensorielle directe ; tous sont concrets, aucun n’est abstrait.
Conclusion
En résumé, les moyens que les animaux utilisent pour ne faire qu’un avec la nature, tout en diffusant leurs intentions et en signalant leur statut, sont constitués des entités mêmes dont la nature est faite et n’impliquent pas d’indirection par le biais d’abstractions convenues à l’avance. L’ingéniosité et la capacité des animaux à survivre et à se reproduire dans la nature, ainsi qu’à vivre en équilibre durable avec elle, résultent-elles du fait qu’ils font partie intégrante de la nature ?
Il est clair que le profond stratagème de Gödel consistant à utiliser uniquement les éléments mêmes de la « réalité » des mathématiques — les nombres naturels et les opérations arithmétiques — pour la relier à la métamathématique elle-même a servi de clé fondamentale pour déverrouiller les résultats inattendus de ses théorèmes. Un parallèle entre le stratagème de Gödel et le comportement des animaux dans la nature semble alors émerger : l’utilisation d’éléments d’une réalité donnée pour la relier à sa métaréalité. Cela peut permettre d’éviter les barrières causées par un langage dont les concepts sont étrangers et sans rapport avec la réalité qu’il tente de décrire. Peut-il s’agir d’un indice permettant d’accéder à des connaissances plus approfondies ?
Newton a dit : « Nous construisons trop de murs et pas assez de ponts ». Ce qui précède peut-il être le début d’un pont qui permettra d’élaborer de meilleures théories ?
Cet essai reprend certaines idées du livre de l’auteur, Life & Theories: Encounters of the Third Kind, 2023.
Texte original : https://www.essentiafoundation.org/godels-incompleteness-and-the-realm-of-wildlife/reading/